Løs 23x^2+5x+3=0

$$23 x ^ { 2 } + 5 x + 3 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{251}i}{46}\approx -0,108695652+0,344412598i$$

$$x=\frac{-\sqrt{251}i-5}{46}\approx -0,108695652-0,344412598i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$23x^{2}+5x+3=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 23 for a, 5 for b og 3 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 23\times 3}}{2\times 23}$$

Kvadrer 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 23\times 3}}{2\times 23}$$

Multipliser -4 ganger 23.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-92\times 3}}{2\times 23}$$

Multipliser -92 ganger 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-276}}{2\times 23}$$

Legg sammen 25 og -276.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-251}}{2\times 23}$$

Ta kvadratroten av -251.

$$x=\frac{-5±\sqrt{251}i}{2\times 23}$$

Multipliser 2 ganger 23.

$$x=\frac{-5±\sqrt{251}i}{46}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-5±\sqrt{251}i}{46} når ± er pluss. Legg sammen -5 og i\sqrt{251}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{251}i}{46}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-5±\sqrt{251}i}{46} når ± er minus. Trekk fra i\sqrt{251} fra -5.

$$x=\frac{-\sqrt{251}i-5}{46}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{-5+\sqrt{251}i}{46} x=\frac{-\sqrt{251}i-5}{46}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$23x^{2}+5x+3=0$$

Trekk fra 3 fra begge sider av ligningen.

$$23x^{2}+5x+3-3=-3$$

Når du trekker fra 3 fra seg selv har du 0 igjen.

$$23x^{2}+5x=-3$$

Del begge sidene på 23.

$$\frac{23x^{2}+5x}{23}=-\frac{3}{23}$$

Hvis du deler på 23, gjør du om gangingen med 23.

$$x^{2}+\frac{5}{23}x=-\frac{3}{23}$$

Del \frac{5}{23}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{5}{46}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{5}{46} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{5}{23}x+\left(\frac{5}{46}\right)^{2}=-\frac{3}{23}+\left(\frac{5}{46}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{5}{46} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{5}{23}x+\frac{25}{2116}=-\frac{3}{23}+\frac{25}{2116}$$

Legg sammen -\frac{3}{23} og \frac{25}{2116} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{5}{23}x+\frac{25}{2116}=-\frac{251}{2116}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{5}{23}x+\frac{25}{2116}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{46}\right)^{2}=-\frac{251}{2116}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{46}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{251}{2116}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{5}{46}=\frac{\sqrt{251}i}{46} x+\frac{5}{46}=-\frac{\sqrt{251}i}{46}$$

Trekk fra \frac{5}{46} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{-5+\sqrt{251}i}{46} x=\frac{-\sqrt{251}i-5}{46}$$