Løs 23x^2+12x-35geq0

$$23 x ^ { 2 } + 12 x - 35 \geq 0$$

Løs for x

$$x\in (-\infty,-\frac{35}{23}]\cup [1,\infty)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$23x^{2}+12x-35=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 23 med a, 12 med b, og -35 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 23\left(-35\right)}}{2\times 23}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{-12±58}{46}$$

Løs ligningen x=\frac{-12±58}{46} når ± er pluss og ± er minus.

$$x=1 x=-\frac{35}{23}$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$23\left(x-1\right)\left(x+\frac{35}{23}\right)\geq 0$$

For at produktet skal være ≥0, x-1 og x+\frac{35}{23} må være både ≤0 eller begge ≥0. Vurder saken når x-1 og x+\frac{35}{23} er begge ≤0.

$$x-1\leq 0 x+\frac{35}{23}\leq 0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x\leq -\frac{35}{23}.

$$x\leq -\frac{35}{23}$$

Vurder saken når x-1 og x+\frac{35}{23} er begge ≥0.

$$x+\frac{35}{23}\geq 0 x-1\geq 0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x\geq 1.

$$x\geq 1$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$x\leq -\frac{35}{23}\text{; }x\geq 1$$