Løs 23x^2+11x+9=0

$$23 x ^ { 2 } + 11 x + 9 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46}\approx -0,239130435+0,578031991i$$

$$x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}\approx -0,239130435-0,578031991i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$23x^{2}+11x+9=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 23 for a, 11 for b og 9 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 23\times 9}}{2\times 23}$$

Kvadrer 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 23\times 9}}{2\times 23}$$

Multipliser -4 ganger 23.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-92\times 9}}{2\times 23}$$

Multipliser -92 ganger 9.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-828}}{2\times 23}$$

Legg sammen 121 og -828.

$$x=\frac{-11±\sqrt{-707}}{2\times 23}$$

Ta kvadratroten av -707.

$$x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{2\times 23}$$

Multipliser 2 ganger 23.

$$x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46} når ± er pluss. Legg sammen -11 og i\sqrt{707}.

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46} når ± er minus. Trekk fra i\sqrt{707} fra -11.

$$x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46} x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$23x^{2}+11x+9=0$$

Trekk fra 9 fra begge sider av ligningen.

$$23x^{2}+11x+9-9=-9$$

Når du trekker fra 9 fra seg selv har du 0 igjen.

$$23x^{2}+11x=-9$$

Del begge sidene på 23.

$$\frac{23x^{2}+11x}{23}=-\frac{9}{23}$$

Hvis du deler på 23, gjør du om gangingen med 23.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x=-\frac{9}{23}$$

Del \frac{11}{23}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{11}{46}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{11}{46} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\left(\frac{11}{46}\right)^{2}=-\frac{9}{23}+\left(\frac{11}{46}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{11}{46} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}=-\frac{9}{23}+\frac{121}{2116}$$

Legg sammen -\frac{9}{23} og \frac{121}{2116} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}=-\frac{707}{2116}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{46}\right)^{2}=-\frac{707}{2116}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{46}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{707}{2116}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{11}{46}=\frac{\sqrt{707}i}{46} x+\frac{11}{46}=-\frac{\sqrt{707}i}{46}$$

Trekk fra \frac{11}{46} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46} x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$