Løs 219x^2-12x+4=0

$$219 x ^ { 2 } - 12 x + 4 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}\approx 0,02739726+0,13234134i$$

$$x=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}\approx 0,02739726-0,13234134i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$219x^{2}-12x+4=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 219 for a, -12 for b og 4 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 219\times 4}}{2\times 219}$$

Kvadrer -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 219\times 4}}{2\times 219}$$

Multipliser -4 ganger 219.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-876\times 4}}{2\times 219}$$

Multipliser -876 ganger 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-3504}}{2\times 219}$$

Legg sammen 144 og -3504.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{-3360}}{2\times 219}$$

Ta kvadratroten av -3360.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{210}i}{2\times 219}$$

Det motsatte av -12 er 12.

$$x=\frac{12±4\sqrt{210}i}{2\times 219}$$

Multipliser 2 ganger 219.

$$x=\frac{12±4\sqrt{210}i}{438}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{12±4\sqrt{210}i}{438} når ± er pluss. Legg sammen 12 og 4i\sqrt{210}.

$$x=\frac{12+4\sqrt{210}i}{438}$$

Del 12+4i\sqrt{210} på 438.

$$x=\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{12±4\sqrt{210}i}{438} når ± er minus. Trekk fra 4i\sqrt{210} fra 12.

$$x=\frac{-4\sqrt{210}i+12}{438}$$

Del 12-4i\sqrt{210} på 438.

$$x=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73} x=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$219x^{2}-12x+4=0$$

Trekk fra 4 fra begge sider av ligningen.

$$219x^{2}-12x+4-4=-4$$

Når du trekker fra 4 fra seg selv har du 0 igjen.

$$219x^{2}-12x=-4$$

Del begge sidene på 219.

$$\frac{219x^{2}-12x}{219}=-\frac{4}{219}$$

Hvis du deler på 219, gjør du om gangingen med 219.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{219}\right)x=-\frac{4}{219}$$

Forkort brøken \frac{-12}{219} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 3.

$$x^{2}-\frac{4}{73}x=-\frac{4}{219}$$

Del -\frac{4}{73}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{2}{73}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{2}{73} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{4}{73}x+\left(-\frac{2}{73}\right)^{2}=-\frac{4}{219}+\left(-\frac{2}{73}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{2}{73} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{4}{73}x+\frac{4}{5329}=-\frac{4}{219}+\frac{4}{5329}$$

Legg sammen -\frac{4}{219} og \frac{4}{5329} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{4}{73}x+\frac{4}{5329}=-\frac{280}{15987}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{4}{73}x+\frac{4}{5329}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{73}\right)^{2}=-\frac{280}{15987}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{73}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{280}{15987}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{2}{73}=\frac{2\sqrt{210}i}{219} x-\frac{2}{73}=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}$$

Legg til \frac{2}{73} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73} x=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}$$