Løs 20x^2-28x-1=0

$$20 x ^ { 2 } - 28 x - 1 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{3 \sqrt{6} + 7}{10} \approx 1,434846923$$

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}\approx -0,034846923$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 20 for a, -28 for b og -1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Kvadrer -28.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Multipliser -4 ganger 20.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Multipliser -80 ganger -1.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+80}}{2\times 20}$$

Legg sammen 784 og 80.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{864}}{2\times 20}$$

Ta kvadratroten av 864.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

Det motsatte av -28 er 28.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

Multipliser 2 ganger 20.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40} når ± er pluss. Legg sammen 28 og 12\sqrt{6}.

$$x=\frac{12\sqrt{6}+28}{40}$$

Del 28+12\sqrt{6} på 40.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40} når ± er minus. Trekk fra 12\sqrt{6} fra 28.

$$x=\frac{28-12\sqrt{6}}{40}$$

Del 28-12\sqrt{6} på 40.

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

Legg til 1 på begge sider av ligningen.

$$20x^{2}-28x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Når du trekker fra -1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$20x^{2}-28x=-\left(-1\right)$$

Trekk fra -1 fra 0.

$$20x^{2}-28x=1$$

Del begge sidene på 20.

$$\frac{20x^{2}-28x}{20}=\frac{1}{20}$$

Hvis du deler på 20, gjør du om gangingen med 20.

$$x^{2}+\left(-\frac{28}{20}\right)x=\frac{1}{20}$$

Forkort brøken \frac{-28}{20} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 4.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{1}{20}$$

Del -\frac{7}{5}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{7}{10}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{7}{10} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{7}{10} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{1}{20}+\frac{49}{100}$$

Legg sammen \frac{1}{20} og \frac{49}{100} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{27}{50}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{27}{50}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{27}{50}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{3\sqrt{6}}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{3\sqrt{6}}{10}$$

Legg til \frac{7}{10} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$