Løs 20x^2-x-1=0

$$20 { x }^{ 2 } -x-1 = 0$$

Løs for x

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 20x^{2}+ax+bx-1. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-1 ab=20\left(-1\right)=-20$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Løsningen er paret som gir Summer -1.

$$a=-5 b=4$$

Skriv om 20x^{2}-x-1 som \left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right).

$$\left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right)$$

Faktorer ut 5x i 20x^{2}-5x.

$$5x\left(4x-1\right)+4x-1$$

Faktorer ut det felles leddet 4x-1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(4x-1\right)\left(5x+1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 4x-1=0 og 5x+1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 20 for a, -1 for b og -1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Multipliser -4 ganger 20.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Multipliser -80 ganger -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 20}$$

Legg sammen 1 og 80.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 20}$$

Ta kvadratroten av 81.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 20}$$

Det motsatte av -1 er 1.

$$x=\frac{1±9}{2\times 20}$$

Multipliser 2 ganger 20.

$$x=\frac{1±9}{40}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{1±9}{40} når ± er pluss. Legg sammen 1 og 9.

$$x=\frac{10}{40}$$

Forkort brøken \frac{10}{40} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 10.

$$x=\frac{1}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{1±9}{40} når ± er minus. Trekk fra 9 fra 1.

$$x=-\frac{8}{40}$$

Forkort brøken \frac{-8}{40} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 8.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Legg til 1 på begge sider av ligningen.

$$20x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Når du trekker fra -1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$20x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

Trekk fra -1 fra 0.

$$20x^{2}-x=1$$

Del begge sidene på 20.

$$\frac{20x^{2}-x}{20}=\frac{1}{20}$$

Hvis du deler på 20, gjør du om gangingen med 20.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x=\frac{1}{20}$$

Del -\frac{1}{20}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{1}{40}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{1}{40} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{1}{40} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{1}{20}+\frac{1}{1600}$$

Legg sammen \frac{1}{20} og \frac{1}{1600} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{81}{1600}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{81}{1600}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{1600}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{1}{40}=\frac{9}{40} x-\frac{1}{40}=-\frac{9}{40}$$

Legg til \frac{1}{40} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$