Løs 225x^2-90x+324=0

$$225 x ^ { 2 } - 90 x + 324 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{5}\approx 0,2+1,183215957i$$

$$x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{5}\approx 0,2-1,183215957i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$225x^{2}-90x+324=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 225 for a, -90 for b og 324 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 225\times 324}}{2\times 225}$$

Kvadrer -90.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 225\times 324}}{2\times 225}$$

Multipliser -4 ganger 225.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-900\times 324}}{2\times 225}$$

Multipliser -900 ganger 324.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-291600}}{2\times 225}$$

Legg sammen 8100 og -291600.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{-283500}}{2\times 225}$$

Ta kvadratroten av -283500.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±90\sqrt{35}i}{2\times 225}$$

Det motsatte av -90 er 90.

$$x=\frac{90±90\sqrt{35}i}{2\times 225}$$

Multipliser 2 ganger 225.

$$x=\frac{90±90\sqrt{35}i}{450}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{90±90\sqrt{35}i}{450} når ± er pluss. Legg sammen 90 og 90i\sqrt{35}.

$$x=\frac{90+90\sqrt{35}i}{450}$$

Del 90+90i\sqrt{35} på 450.

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{5}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{90±90\sqrt{35}i}{450} når ± er minus. Trekk fra 90i\sqrt{35} fra 90.

$$x=\frac{-90\sqrt{35}i+90}{450}$$

Del 90-90i\sqrt{35} på 450.

$$x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{5}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{5} x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{5}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$225x^{2}-90x+324=0$$

Trekk fra 324 fra begge sider av ligningen.

$$225x^{2}-90x+324-324=-324$$

Når du trekker fra 324 fra seg selv har du 0 igjen.

$$225x^{2}-90x=-324$$

Del begge sidene på 225.

$$\frac{225x^{2}-90x}{225}=-\frac{324}{225}$$

Hvis du deler på 225, gjør du om gangingen med 225.

$$x^{2}+\left(-\frac{90}{225}\right)x=-\frac{324}{225}$$

Forkort brøken \frac{-90}{225} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 45.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-\frac{324}{225}$$

Forkort brøken \frac{-324}{225} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 9.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-\frac{36}{25}$$

Del -\frac{2}{5}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{1}{5}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{1}{5} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{36}{25}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{1}{5} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{-36+1}{25}$$

Legg sammen -\frac{36}{25} og \frac{1}{25} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{7}{5}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{7}{5}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{5}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{\sqrt{35}i}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{\sqrt{35}i}{5}$$

Legg til \frac{1}{5} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{5} x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{5}$$