Løs 2z^2-5z=12

$$2 z ^ { 2 } - 5 z = 12$$

Løs for z

$$z = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$z=4$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Trekk fra 12 fra begge sider.

$$2z^{2}-5z-12=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 2z^{2}+az+bz-12. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-5 ab=2\left(-12\right)=-24$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Løsningen er paret som gir Summer -5.

$$a=-8 b=3$$

Skriv om 2z^{2}-5z-12 som \left(2z^{2}-8z\right)+\left(3z-12\right).

$$\left(2z^{2}-8z\right)+\left(3z-12\right)$$

Faktor ut 2z i den første og 3 i den andre gruppen.

$$2z\left(z-4\right)+3\left(z-4\right)$$

Faktorer ut det felles leddet z-4 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(z-4\right)\left(2z+3\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse z-4=0 og 2z+3=0.

$$z=4 z=-\frac{3}{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$2z^{2}-5z=12$$

Trekk fra 12 fra begge sider av ligningen.

$$2z^{2}-5z-12=12-12$$

Når du trekker fra 12 fra seg selv har du 0 igjen.

$$2z^{2}-5z-12=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 2 for a, -5 for b og -12 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrer -5.

$$z=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -4 ganger 2.

$$z=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -8 ganger -12.

$$z=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+96}}{2\times 2}$$

Legg sammen 25 og 96.

$$z=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Ta kvadratroten av 121.

$$z=\frac{-\left(-5\right)±11}{2\times 2}$$

Det motsatte av -5 er 5.

$$z=\frac{5±11}{2\times 2}$$

Multipliser 2 ganger 2.

$$z=\frac{5±11}{4}$$

Nå kan du løse formelen z=\frac{5±11}{4} når ± er pluss. Legg sammen 5 og 11.

$$z=\frac{16}{4}$$

Del 16 på 4.

$$z=4$$

Nå kan du løse formelen z=\frac{5±11}{4} når ± er minus. Trekk fra 11 fra 5.

$$z=-\frac{6}{4}$$

Forkort brøken \frac{-6}{4} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$z=-\frac{3}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$z=4 z=-\frac{3}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$2z^{2}-5z=12$$

Del begge sidene på 2.

$$\frac{2z^{2}-5z}{2}=\frac{12}{2}$$

Hvis du deler på 2, gjør du om gangingen med 2.

$$z^{2}-\frac{5}{2}z=\frac{12}{2}$$

Del 12 på 2.

$$z^{2}-\frac{5}{2}z=6$$

Del -\frac{5}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{5}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{5}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$z^{2}-\frac{5}{2}z+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=6+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{5}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$z^{2}-\frac{5}{2}z+\frac{25}{16}=6+\frac{25}{16}$$

Legg sammen 6 og \frac{25}{16}.

$$z^{2}-\frac{5}{2}z+\frac{25}{16}=\frac{121}{16}$$

Faktoriser z^{2}-\frac{5}{2}z+\frac{25}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(z-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Forenkle.

$$z-\frac{5}{4}=\frac{11}{4} z-\frac{5}{4}=-\frac{11}{4}$$

Legg til \frac{5}{4} på begge sider av ligningen.

$$z=4 z=-\frac{3}{2}$$