Løs for y
y = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5
y=3
Graf
Aksje
Kopiert til utklippstavle
a+b=1 ab=2\left(-21\right)=-42
For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 2y^{2}+ay+by-21. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.
-1,42 -2,21 -3,14 -6,7
Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -42.
-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1
Beregn summen for hvert par.
a=-6 b=7
Løsningen er paret som gir Summer 1.
\left(2y^{2}-6y\right)+\left(7y-21\right)
Skriv om 2y^{2}+y-21 som \left(2y^{2}-6y\right)+\left(7y-21\right).
2y\left(y-3\right)+7\left(y-3\right)
Faktor ut 2y i den første og 7 i den andre gruppen.
\left(y-3\right)\left(2y+7\right)
Faktorer ut det felles leddet y-3 ved å bruke den distributive lov.
y=3 y=-\frac{7}{2}
Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse y-3=0 og 2y+7=0.
2y^{2}+y-21=0
Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.
y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-21\right)}}{2\times 2}
Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 2 for a, 1 for b og -21 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
y=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-21\right)}}{2\times 2}
Kvadrer 1.
y=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-21\right)}}{2\times 2}
Multipliser -4 ganger 2.
y=\frac{-1±\sqrt{1+168}}{2\times 2}
Multipliser -8 ganger -21.
y=\frac{-1±\sqrt{169}}{2\times 2}
Legg sammen 1 og 168.
y=\frac{-1±13}{2\times 2}
Ta kvadratroten av 169.
y=\frac{-1±13}{4}
Multipliser 2 ganger 2.
y=\frac{12}{4}
Nå kan du løse formelen y=\frac{-1±13}{4} når ± er pluss. Legg sammen -1 og 13.
y=3
Del 12 på 4.
y=-\frac{14}{4}
Nå kan du løse formelen y=\frac{-1±13}{4} når ± er minus. Trekk fra 13 fra -1.
y=-\frac{7}{2}
Forkort brøken \frac{-14}{4} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.
y=3 y=-\frac{7}{2}
Ligningen er nå løst.
2y^{2}+y-21=0
Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.
2y^{2}+y-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)
Legg til 21 på begge sider av ligningen.
2y^{2}+y=-\left(-21\right)
Når du trekker fra -21 fra seg selv har du 0 igjen.
2y^{2}+y=21
Trekk fra -21 fra 0.
\frac{2y^{2}+y}{2}=\frac{21}{2}
Del begge sidene på 2.
y^{2}+\frac{1}{2}y=\frac{21}{2}
Hvis du deler på 2, gjør du om gangingen med 2.
y^{2}+\frac{1}{2}y+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{21}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}
Del \frac{1}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{1}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{1}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.
y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=\frac{21}{2}+\frac{1}{16}
Kvadrer \frac{1}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.
y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=\frac{169}{16}
Legg sammen \frac{21}{2} og \frac{1}{16} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.
\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}
Faktoriser y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.
\sqrt{\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}
Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.
y+\frac{1}{4}=\frac{13}{4} y+\frac{1}{4}=-\frac{13}{4}
Forenkle.
y=3 y=-\frac{7}{2}
Trekk fra \frac{1}{4} fra begge sider av ligningen.
Eksempler
Kvadratisk ligning
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
Trigonometri
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
Lineær ligning
y = 3x + 4
Aritmetikk
699 * 533
Matrise
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
Samtidig formel
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
Differensiering
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
Integrasjon
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
Grenser
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}