Løs 2y^2+2y-1=0

$$2 y ^ { 2 } + 2 y - 1 = 0$$

Løs for y

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\approx 0,366025404$$

$$y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}\approx -1,366025404$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$2y^{2}+2y-1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 2 for a, 2 for b og -1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrer 2.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -4 ganger 2.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -8 ganger -1.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

Legg sammen 4 og 8.

$$y=\frac{-2±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

Ta kvadratroten av 12.

$$y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Multipliser 2 ganger 2.

$$y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{4}$$

Nå kan du løse formelen y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{4} når ± er pluss. Legg sammen -2 og 2\sqrt{3}.

$$y=\frac{2\sqrt{3}-2}{4}$$

Del -2+2\sqrt{3} på 4.

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$

Nå kan du løse formelen y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{4} når ± er minus. Trekk fra 2\sqrt{3} fra -2.

$$y=\frac{-2\sqrt{3}-2}{4}$$

Del -2-2\sqrt{3} på 4.

$$y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2} y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$2y^{2}+2y-1=0$$

Legg til 1 på begge sider av ligningen.

$$2y^{2}+2y-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Når du trekker fra -1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$2y^{2}+2y=-\left(-1\right)$$

Trekk fra -1 fra 0.

$$2y^{2}+2y=1$$

Del begge sidene på 2.

$$\frac{2y^{2}+2y}{2}=\frac{1}{2}$$

Hvis du deler på 2, gjør du om gangingen med 2.

$$y^{2}+\frac{2}{2}y=\frac{1}{2}$$

Del 2 på 2.

$$y^{2}+y=\frac{1}{2}$$

Del 1, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{1}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{1}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$y^{2}+y+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{1}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$y^{2}+y+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Legg sammen \frac{1}{2} og \frac{1}{4} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$y^{2}+y+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Faktoriser y^{2}+y+\frac{1}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Forenkle.

$$y+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} y+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Trekk fra \frac{1}{2} fra begge sider av ligningen.

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2} y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$$