Løs 2y^2+1/5-y=3(1/5-y)^2-2

$$2 y ^ { 2 } + \frac { 1 } { 5 } - y = 3 ( \frac { 1 } { 5 } - y ) ^ { 2 } - 2$$

Løs for y

$$y = \frac{\sqrt{209} + 1}{10} \approx 1,545683229$$

$$y=\frac{1-\sqrt{209}}{10}\approx -1,345683229$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(\frac{1}{5}-y\right)^{2}.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=3\left(\frac{1}{25}-\frac{2}{5}y+y^{2}\right)-2$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 3 med \frac{1}{25}-\frac{2}{5}y+y^{2}.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=\frac{3}{25}-\frac{6}{5}y+3y^{2}-2$$

Trekk fra 2 fra \frac{3}{25} for å få -\frac{47}{25}.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=-\frac{47}{25}-\frac{6}{5}y+3y^{2}$$

Trekk fra -\frac{47}{25} fra begge sider.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y-\left(-\frac{47}{25}\right)=-\frac{6}{5}y+3y^{2}$$

Det motsatte av -\frac{47}{25} er \frac{47}{25}.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y+\frac{47}{25}=-\frac{6}{5}y+3y^{2}$$

Legg til \frac{6}{5}y på begge sider.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y+\frac{47}{25}+\frac{6}{5}y=3y^{2}$$

Legg sammen \frac{1}{5} og \frac{47}{25} for å få \frac{52}{25}.

$$2y^{2}+\frac{52}{25}-y+\frac{6}{5}y=3y^{2}$$

Kombiner -y og \frac{6}{5}y for å få \frac{1}{5}y.

$$2y^{2}+\frac{52}{25}+\frac{1}{5}y=3y^{2}$$

Trekk fra 3y^{2} fra begge sider.

$$2y^{2}+\frac{52}{25}+\frac{1}{5}y-3y^{2}=0$$

Kombiner 2y^{2} og -3y^{2} for å få -y^{2}.

$$-y^{2}+\frac{52}{25}+\frac{1}{5}y=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-y^{2}+\frac{1}{5}y+\frac{52}{25}=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -1 for a, \frac{1}{5} for b og \frac{52}{25} for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\sqrt{\left(\frac{1}{5}\right)^{2}-4\left(-1\right)\times \frac{52}{25}}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrer \frac{1}{5} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\sqrt{\frac{1}{25}-4\left(-1\right)\times \frac{52}{25}}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser -4 ganger -1.

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\sqrt{\frac{1}{25}+4\times \frac{52}{25}}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 4 ganger \frac{52}{25}.

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\sqrt{\frac{1+208}{25}}}{2\left(-1\right)}$$

Legg sammen \frac{1}{25} og \frac{208}{25} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\sqrt{\frac{209}{25}}}{2\left(-1\right)}$$

Ta kvadratroten av \frac{209}{25}.

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\frac{\sqrt{209}}{5}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 2 ganger -1.

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\frac{\sqrt{209}}{5}}{-2}$$

Nå kan du løse formelen y=\frac{-\frac{1}{5}±\frac{\sqrt{209}}{5}}{-2} når ± er pluss. Legg sammen -\frac{1}{5} og \frac{\sqrt{209}}{5}.

$$y=\frac{\sqrt{209}-1}{-2\times 5}$$

Del \frac{-1+\sqrt{209}}{5} på -2.

$$y=\frac{1-\sqrt{209}}{10}$$

Nå kan du løse formelen y=\frac{-\frac{1}{5}±\frac{\sqrt{209}}{5}}{-2} når ± er minus. Trekk fra \frac{\sqrt{209}}{5} fra -\frac{1}{5}.

$$y=\frac{-\sqrt{209}-1}{-2\times 5}$$

Del \frac{-1-\sqrt{209}}{5} på -2.

$$y=\frac{\sqrt{209}+1}{10}$$

Ligningen er nå løst.

$$y=\frac{1-\sqrt{209}}{10} y=\frac{\sqrt{209}+1}{10}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(\frac{1}{5}-y\right)^{2}.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=3\left(\frac{1}{25}-\frac{2}{5}y+y^{2}\right)-2$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 3 med \frac{1}{25}-\frac{2}{5}y+y^{2}.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=\frac{3}{25}-\frac{6}{5}y+3y^{2}-2$$

Trekk fra 2 fra \frac{3}{25} for å få -\frac{47}{25}.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=-\frac{47}{25}-\frac{6}{5}y+3y^{2}$$

Legg til \frac{6}{5}y på begge sider.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y+\frac{6}{5}y=-\frac{47}{25}+3y^{2}$$

Kombiner -y og \frac{6}{5}y for å få \frac{1}{5}y.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}y=-\frac{47}{25}+3y^{2}$$

Trekk fra 3y^{2} fra begge sider.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}y-3y^{2}=-\frac{47}{25}$$

Kombiner 2y^{2} og -3y^{2} for å få -y^{2}.

$$-y^{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}y=-\frac{47}{25}$$

Trekk fra \frac{1}{5} fra begge sider.

$$-y^{2}+\frac{1}{5}y=-\frac{47}{25}-\frac{1}{5}$$

Trekk fra \frac{1}{5} fra -\frac{47}{25} for å få -\frac{52}{25}.

$$-y^{2}+\frac{1}{5}y=-\frac{52}{25}$$

Del begge sidene på -1.

$$\frac{-y^{2}+\frac{1}{5}y}{-1}=-\frac{\frac{52}{25}}{-1}$$

Hvis du deler på -1, gjør du om gangingen med -1.

$$y^{2}+\frac{\frac{1}{5}}{-1}y=-\frac{\frac{52}{25}}{-1}$$

Del \frac{1}{5} på -1.

$$y^{2}-\frac{1}{5}y=-\frac{\frac{52}{25}}{-1}$$

Del -\frac{52}{25} på -1.

$$y^{2}-\frac{1}{5}y=\frac{52}{25}$$

Del -\frac{1}{5}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{1}{10}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{1}{10} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$y^{2}-\frac{1}{5}y+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{52}{25}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{1}{10} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$y^{2}-\frac{1}{5}y+\frac{1}{100}=\frac{52}{25}+\frac{1}{100}$$

Legg sammen \frac{52}{25} og \frac{1}{100} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$y^{2}-\frac{1}{5}y+\frac{1}{100}=\frac{209}{100}$$

Faktoriser y^{2}-\frac{1}{5}y+\frac{1}{100}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{209}{100}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{209}{100}}$$

Forenkle.

$$y-\frac{1}{10}=\frac{\sqrt{209}}{10} y-\frac{1}{10}=-\frac{\sqrt{209}}{10}$$

Legg til \frac{1}{10} på begge sider av ligningen.

$$y=\frac{\sqrt{209}+1}{10} y=\frac{1-\sqrt{209}}{10}$$