Løs 2x-3y=-2text{and}4x+y=2A

$$2 x - 3 y = - 2 \text { and } 4 x + y = 2 A$$

Løs for x, y

$$x=\frac{3A-1}{7}$$

$$y=\frac{2A+4}{7}$$

Fremgangsmåten ved bruk av innsetting

Hvis du vil løse et ligningspar ved hjelp av innsetting, løser du først en av ligningene for å få en variabel. Deretter setter du inn resultatet for denne variabelen i den andre ligningen.

$$2x-3y=-2,4x+y=2A$$

Velg én av ligningene, og løs den for x ved å isolere x på venstre side av likhetstegnet.

$$2x-3y=-2$$

Legg til 3y på begge sider av ligningen.

$$2x=3y-2$$

Del begge sidene på 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-2\right)$$

Multipliser \frac{1}{2} ganger 3y-2.

$$x=\frac{3}{2}y-1$$

Sett inn \frac{3y}{2}-1 for x i den andre formelen, 4x+y=2A.

$$4\left(\frac{3}{2}y-1\right)+y=2A$$

Multipliser 4 ganger \frac{3y}{2}-1.

$$6y-4+y=2A$$

Legg sammen 6y og y.

$$7y-4=2A$$

Legg til 4 på begge sider av ligningen.

$$7y=2A+4$$

Del begge sidene på 7.

$$y=\frac{2A+4}{7}$$

Sett inn \frac{4+2A}{7} for y i x=\frac{3}{2}y-1. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{2A+4}{7}-1$$

Multipliser \frac{3}{2} ganger \frac{4+2A}{7}.

$$x=\frac{3A+6}{7}-1$$

Legg sammen -1 og \frac{6+3A}{7}.

$$x=\frac{3A-1}{7}$$

Systemet er nå løst.

$$x=\frac{3A-1}{7},y=\frac{2A+4}{7}$$

Fremgangsmåten ved hjelp av matriser

Skriv ligningene i standardformat, og bruk matriser til å løse ligningssystemet.

$$2x-3y=-2,4x+y=2A$$

Skriv ligningen i matriseform.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Venstremultipliser formelen med den inverse matrisen til \left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Produktet av en matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Multiplisere matriser på venstre side av likhetstegnet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrisen\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), er den inverse matrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matriseformelen kan skrives om som matrisemultiplikasjon.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2A\end{matrix}\right)$$

Multipliser matrisene.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\left(-2\right)+\frac{3}{14}\times 2A\\-\frac{2}{7}\left(-2\right)+\frac{1}{7}\times 2A\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3A-1}{7}\\\frac{2A+4}{7}\end{matrix}\right)$$

Trekk ut matriseelementene x og y.

$$x=\frac{3A-1}{7},y=\frac{2A+4}{7}$$

Fremgangsmåten ved hjelp av eliminasjon

Hvis du vil løse ved eliminasjon, må koeffisienten til en av variablene være den samme i begge formlene, slik at variabelen elimineres når én ligning trekkes fra den andre.

$$2x-3y=-2,4x+y=2A$$

For å gjøre 2x og 4x lik multipliserer du alle leddene på hver side av den første ligningen med 4 og alle leddene på hver side av den andre ligningen med 2.

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\left(-2\right),2\times 4x+2y=2\times 2A$$

Forenkle.

$$8x-12y=-8,8x+2y=4A$$

Trekk fra 8x+2y=4A fra 8x-12y=-8 ved å trekke fra tilsvarende ledd på hver side av likhetstegnet.

$$8x-8x-12y-2y=-8-4A$$

Legg sammen 8x og -8x. Vilkårene 8x og -8x eliminerer hverandre, slik at vi får en formel med bare én variabel som kan løses.

$$-12y-2y=-8-4A$$

Legg sammen -12y og -2y.

$$-14y=-8-4A$$

Legg sammen -8 og -4A.

$$-14y=-4A-8$$

Del begge sidene på -14.

$$y=\frac{2A+4}{7}$$

Sett inn \frac{4+2A}{7} for y i 4x+y=2A. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$4x+\frac{2A+4}{7}=2A$$

Trekk fra \frac{4+2A}{7} fra begge sider av ligningen.

$$4x=\frac{12A-4}{7}$$

Del begge sidene på 4.

$$x=\frac{3A-1}{7}$$

Systemet er nå løst.

$$x=\frac{3A-1}{7},y=\frac{2A+4}{7}$$