Løs 2x-3y+10=0quadtext{KaHa}5x-y+4=0

$$2 x - 3 y + 10 = 0 \quad \text { KaHa } 5 x - y + 4 = 0$$

Løs for x, y

$$x=-\frac{2}{13}\approx -0,153846154$$

$$y = \frac{42}{13} = 3\frac{3}{13} \approx 3,230769231$$

Fremgangsmåten ved bruk av innsetting

Hvis du vil løse et ligningspar ved hjelp av innsetting, løser du først en av ligningene for å få en variabel. Deretter setter du inn resultatet for denne variabelen i den andre ligningen.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Velg én av ligningene, og løs den for x ved å isolere x på venstre side av likhetstegnet.

$$2x-3y+10=0$$

Trekk fra 10 fra begge sider av ligningen.

$$2x-3y=-10$$

Legg til 3y på begge sider av ligningen.

$$2x=3y-10$$

Del begge sidene på 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-10\right)$$

Multipliser \frac{1}{2} ganger 3y-10.

$$x=\frac{3}{2}y-5$$

Sett inn \frac{3y}{2}-5 for x i den andre formelen, 5x-y+4=0.

$$5\left(\frac{3}{2}y-5\right)-y+4=0$$

Multipliser 5 ganger \frac{3y}{2}-5.

$$\frac{15}{2}y-25-y+4=0$$

Legg sammen \frac{15y}{2} og -y.

$$\frac{13}{2}y-25+4=0$$

Legg sammen -25 og 4.

$$\frac{13}{2}y-21=0$$

Legg til 21 på begge sider av ligningen.

$$\frac{13}{2}y=21$$

Del begge sidene av ligningen på \frac{13}{2}, som er det samme som å multiplisere begge sidene med den resiproke verdien av brøken.

$$y=\frac{42}{13}$$

Sett inn \frac{42}{13} for y i x=\frac{3}{2}y-5. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{42}{13}-5$$

Multipliser \frac{3}{2} med \frac{42}{13} ved å multiplisere teller ganger teller og nevner ganger nevner. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x=\frac{63}{13}-5$$

Legg sammen -5 og \frac{63}{13}.

$$x=-\frac{2}{13}$$

Systemet er nå løst.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Fremgangsmåten ved hjelp av matriser

Skriv ligningene i standardformat, og bruk matriser til å løse ligningssystemet.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Skriv ligningen i matriseform.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Venstremultipliser formelen med den inverse matrisen til \left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Produktet av en matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplisere matriser på venstre side av likhetstegnet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrisen\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), er den inverse matrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matriseformelen kan skrives om som matrisemultiplikasjon.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Multipliser matrisene.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\left(-10\right)+\frac{3}{13}\left(-4\right)\\-\frac{5}{13}\left(-10\right)+\frac{2}{13}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\\\frac{42}{13}\end{matrix}\right)$$

Trekk ut matriseelementene x og y.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Fremgangsmåten ved hjelp av eliminasjon

Hvis du vil løse ved eliminasjon, må koeffisienten til en av variablene være den samme i begge formlene, slik at variabelen elimineres når én ligning trekkes fra den andre.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

For å gjøre 2x og 5x lik multipliserer du alle leddene på hver side av den første ligningen med 5 og alle leddene på hver side av den andre ligningen med 2.

$$5\times 2x+5\left(-3\right)y+5\times 10=0,2\times 5x+2\left(-1\right)y+2\times 4=0$$

Forenkle.

$$10x-15y+50=0,10x-2y+8=0$$

Trekk fra 10x-2y+8=0 fra 10x-15y+50=0 ved å trekke fra tilsvarende ledd på hver side av likhetstegnet.

$$10x-10x-15y+2y+50-8=0$$

Legg sammen 10x og -10x. Vilkårene 10x og -10x eliminerer hverandre, slik at vi får en formel med bare én variabel som kan løses.

$$-15y+2y+50-8=0$$

Legg sammen -15y og 2y.

$$-13y+50-8=0$$

Legg sammen 50 og -8.

$$-13y+42=0$$

Trekk fra 42 fra begge sider av ligningen.

$$-13y=-42$$

Del begge sidene på -13.

$$y=\frac{42}{13}$$

Sett inn \frac{42}{13} for y i 5x-y+4=0. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$5x-\frac{42}{13}+4=0$$

Legg sammen -\frac{42}{13} og 4.

$$5x+\frac{10}{13}=0$$

Trekk fra \frac{10}{13} fra begge sider av ligningen.

$$5x=-\frac{10}{13}$$

Del begge sidene på 5.

$$x=-\frac{2}{13}$$

Systemet er nå løst.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$