Løs 2x^4-7x^3-7x^2+35x-15=0

$$2 x ^ { 4 } - 7 x ^ { 3 } - 7 x ^ { 2 } + 35 x - 15 = 0$$

Løs for x

$$x=\sqrt{5}\approx 2,236067977$$

$$x=-\sqrt{5}\approx -2,236067977$$

$$x=3$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Løsningstrinn

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet -15 og q dividerer den ledende koeffisienten 2. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±\frac{15}{2},±15,±\frac{5}{2},±5,±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{2},±1$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=3$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del 2x^{4}-7x^{3}-7x^{2}+35x-15 på x-3 for å få 2x^{3}-x^{2}-10x+5. Løs formelen der resultatet er lik 0.

$$2x^{3}-x^{2}-10x+5=0$$

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet 5 og q dividerer den ledende koeffisienten 2. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±\frac{5}{2},±5,±\frac{1}{2},±1$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del 2x^{3}-x^{2}-10x+5 på 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1 for å få x^{2}-5. Løs formelen der resultatet er lik 0.

$$x^{2}-5=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 1 med a, 0 med b, og -5 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-5\right)}}{2}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{0±2\sqrt{5}}{2}$$

Løs ligningen x^{2}-5=0 når ± er pluss og ± er minus.

$$x=-\sqrt{5} x=\sqrt{5}$$

Vis alle løsninger som er funnet.

$$x=3 x=\frac{1}{2} x=-\sqrt{5} x=\sqrt{5}$$