Løs 2x^4+7x^3+16x+56=0

$$2 x ^ { 4 } + 7 x ^ { 3 } + 16 x + 56 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=-\sqrt{3}i+1\approx 1-1,732050808i$$

$$x=-2$$

$$x=1+\sqrt{3}i\approx 1+1,732050808i$$

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

Løsningstrinn

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet 56 og q dividerer den ledende koeffisienten 2. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±28,±56,±14,±7,±4,±8,±\frac{7}{2},±2,±1,±\frac{1}{2}$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=-2$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del 2x^{4}+7x^{3}+16x+56 på x+2 for å få 2x^{3}+3x^{2}-6x+28. Løs formelen der resultatet er lik 0.

$$2x^{3}+3x^{2}-6x+28=0$$

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet 28 og q dividerer den ledende koeffisienten 2. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±14,±28,±7,±\frac{7}{2},±2,±4,±1,±\frac{1}{2}$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del 2x^{3}+3x^{2}-6x+28 på 2\left(x+\frac{7}{2}\right)=2x+7 for å få x^{2}-2x+4. Løs formelen der resultatet er lik 0.

$$x^{2}-2x+4=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 1 med a, -2 med b, og 4 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{2±\sqrt{-12}}{2}$$

Løs ligningen x^{2}-2x+4=0 når ± er pluss og ± er minus.

$$x=-\sqrt{3}i+1 x=1+\sqrt{3}i$$

Vis alle løsninger som er funnet.

$$x=-2 x=-\frac{7}{2} x=-\sqrt{3}i+1 x=1+\sqrt{3}i$$

Løs for x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$x=-2$$

Løsningstrinn

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet 56 og q dividerer den ledende koeffisienten 2. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±28,±56,±14,±7,±4,±8,±\frac{7}{2},±2,±1,±\frac{1}{2}$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=-2$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del 2x^{4}+7x^{3}+16x+56 på x+2 for å få 2x^{3}+3x^{2}-6x+28. Løs formelen der resultatet er lik 0.

$$2x^{3}+3x^{2}-6x+28=0$$

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet 28 og q dividerer den ledende koeffisienten 2. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±14,±28,±7,±\frac{7}{2},±2,±4,±1,±\frac{1}{2}$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del 2x^{3}+3x^{2}-6x+28 på 2\left(x+\frac{7}{2}\right)=2x+7 for å få x^{2}-2x+4. Løs formelen der resultatet er lik 0.

$$x^{2}-2x+4=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 1 med a, -2 med b, og 4 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{2±\sqrt{-12}}{2}$$

Siden kvadratroten av et negativt tall ikke er definert i det reelle feltet, finnes det ingen løsninger.

$$x\in \emptyset$$

Vis alle løsninger som er funnet.

$$x=-2 x=-\frac{7}{2}$$