Løs 2x^2-x-36=0

$$2 x ^ { 2 } - x - 36 = 0$$

Løs for x

$$x=-4$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4,5$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 2x^{2}+ax+bx-36. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-1 ab=2\left(-36\right)=-72$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -72.

$$1,-72 2,-36 3,-24 4,-18 6,-12 8,-9$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-72=-71 2-36=-34 3-24=-21 4-18=-14 6-12=-6 8-9=-1$$

Løsningen er paret som gir Summer -1.

$$a=-9 b=8$$

Skriv om 2x^{2}-x-36 som \left(2x^{2}-9x\right)+\left(8x-36\right).

$$\left(2x^{2}-9x\right)+\left(8x-36\right)$$

Faktor ut x i den første og 4 i den andre gruppen.

$$x\left(2x-9\right)+4\left(2x-9\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 2x-9 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(2x-9\right)\left(x+4\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 2x-9=0 og x+4=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-4$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$2x^{2}-x-36=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 2 for a, -1 for b og -36 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -4 ganger 2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -8 ganger -36.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+288}}{2\times 2}$$

Legg sammen 1 og 288.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{289}}{2\times 2}$$

Ta kvadratroten av 289.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±17}{2\times 2}$$

Det motsatte av -1 er 1.

$$x=\frac{1±17}{2\times 2}$$

Multipliser 2 ganger 2.

$$x=\frac{1±17}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{1±17}{4} når ± er pluss. Legg sammen 1 og 17.

$$x=\frac{18}{4}$$

Forkort brøken \frac{18}{4} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=\frac{9}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{1±17}{4} når ± er minus. Trekk fra 17 fra 1.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Del -16 på 4.

$$x=-4$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{9}{2} x=-4$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-x-36=0$$

Legg til 36 på begge sider av ligningen.

$$2x^{2}-x-36-\left(-36\right)=-\left(-36\right)$$

Når du trekker fra -36 fra seg selv har du 0 igjen.

$$2x^{2}-x=-\left(-36\right)$$

Trekk fra -36 fra 0.

$$2x^{2}-x=36$$

Del begge sidene på 2.

$$\frac{2x^{2}-x}{2}=\frac{36}{2}$$

Hvis du deler på 2, gjør du om gangingen med 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{36}{2}$$

Del 36 på 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=18$$

Del -\frac{1}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{1}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{1}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=18+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{1}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=18+\frac{1}{16}$$

Legg sammen 18 og \frac{1}{16}.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{289}{16}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{289}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{16}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{17}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{17}{4}$$

Legg til \frac{1}{4} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{9}{2} x=-4$$