Løs 2x^2-x-1<0

$$2 x ^ { 2 } - x - 1 < 0$$

Løs for x

$$x\in \left(-\frac{1}{2},1\right)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-x-1=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 2 med a, -1 med b, og -1 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{1±3}{4}$$

Løs ligningen x=\frac{1±3}{4} når ± er pluss og ± er minus.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$2\left(x-1\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)<0$$

For at produktet skal være negativt, x-1 og x+\frac{1}{2} må være av motsatt tegn. Vurder saken når x-1 er positiv og x+\frac{1}{2} er negativ.

$$x-1>0 x+\frac{1}{2}<0$$

Dette er usant for alle x.

$$x\in \emptyset$$

Vurder saken når x+\frac{1}{2} er positiv og x-1 er negativ.

$$x+\frac{1}{2}>0 x-1<0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x\in \left(-\frac{1}{2},1\right).

$$x\in \left(-\frac{1}{2},1\right)$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$x\in \left(-\frac{1}{2},1\right)$$