Løs 2x^2-3x-5=0

$$2 x ^ { 2 } - 3 x - 5 = 0$$

Løs for x

$$x=-1$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen faktoriserer du venstre side ved å gruppere. Først må venstre side omskrives som 2x^{2}+ax+bx-5. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-3 ab=2\left(-5\right)=-10$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -10.

$$1,-10 2,-5$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-10=-9 2-5=-3$$

Løsningen er paret som gir Summer -3.

$$a=-5 b=2$$

Skriv om 2x^{2}-3x-5 som \left(2x^{2}-5x\right)+\left(2x-5\right).

$$\left(2x^{2}-5x\right)+\left(2x-5\right)$$

Faktorer ut x i 2x^{2}-5x.

$$x\left(2x-5\right)+2x-5$$

Faktorer ut det felles leddet 2x-5 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(2x-5\right)\left(x+1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 2x-5=0 og x+1=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-1$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$2x^{2}-3x-5=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 2 for a, -3 for b og -5 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrer -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -4 ganger 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -8 ganger -5.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+40}}{2\times 2}$$

Legg sammen 9 og 40.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{49}}{2\times 2}$$

Ta kvadratroten av 49.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±7}{2\times 2}$$

Det motsatte av -3 er 3.

$$x=\frac{3±7}{2\times 2}$$

Multipliser 2 ganger 2.

$$x=\frac{3±7}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{3±7}{4} når ± er pluss. Legg sammen 3 og 7.

$$x=\frac{10}{4}$$

Forkort brøken \frac{10}{4} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=\frac{5}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{3±7}{4} når ± er minus. Trekk fra 7 fra 3.

$$x=-\frac{4}{4}$$

Del -4 på 4.

$$x=-1$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{5}{2} x=-1$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-3x-5=0$$

Legg til 5 på begge sider av ligningen.

$$2x^{2}-3x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Når du trekker fra -5 fra seg selv har du 0 igjen.

$$2x^{2}-3x=-\left(-5\right)$$

Trekk fra -5 fra 0.

$$2x^{2}-3x=5$$

Del begge sidene på 2.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=\frac{5}{2}$$

Hvis du deler på 2, gjør du om gangingen med 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}$$

Divider -\frac{3}{2}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -\frac{3}{4}. Legg deretter til kvadratet av -\frac{3}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{3}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{5}{2}+\frac{9}{16}$$

Legg sammen \frac{5}{2} og \frac{9}{16} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{49}{16}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{7}{4}$$

Legg til \frac{3}{4} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{5}{2} x=-1$$