Løs 2x^2-3x-14=0

$$2 x ^ { 2 } - 3 x - 14 = 0$$

Løs for x

$$x=-2$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen faktoriserer du venstre side ved å gruppere. Først må venstre side omskrives som 2x^{2}+ax+bx-14. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-3 ab=2\left(-14\right)=-28$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -28.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

Løsningen er paret som gir Summer -3.

$$a=-7 b=4$$

Skriv om 2x^{2}-3x-14 som \left(2x^{2}-7x\right)+\left(4x-14\right).

$$\left(2x^{2}-7x\right)+\left(4x-14\right)$$

Faktor ut x i den første og 2 i den andre gruppen.

$$x\left(2x-7\right)+2\left(2x-7\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 2x-7 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(2x-7\right)\left(x+2\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 2x-7=0 og x+2=0.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$2x^{2}-3x-14=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 2 for a, -3 for b og -14 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrer -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -4 ganger 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -8 ganger -14.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+112}}{2\times 2}$$

Legg sammen 9 og 112.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Ta kvadratroten av 121.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±11}{2\times 2}$$

Det motsatte av -3 er 3.

$$x=\frac{3±11}{2\times 2}$$

Multipliser 2 ganger 2.

$$x=\frac{3±11}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{3±11}{4} når ± er pluss. Legg sammen 3 og 11.

$$x=\frac{14}{4}$$

Forkort brøken \frac{14}{4} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=\frac{7}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{3±11}{4} når ± er minus. Trekk fra 11 fra 3.

$$x=-\frac{8}{4}$$

Del -8 på 4.

$$x=-2$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-3x-14=0$$

Legg til 14 på begge sider av ligningen.

$$2x^{2}-3x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

Når du trekker fra -14 fra seg selv har du 0 igjen.

$$2x^{2}-3x=-\left(-14\right)$$

Trekk fra -14 fra 0.

$$2x^{2}-3x=14$$

Del begge sidene på 2.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=\frac{14}{2}$$

Hvis du deler på 2, gjør du om gangingen med 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{14}{2}$$

Del 14 på 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=7$$

Divider -\frac{3}{2}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -\frac{3}{4}. Legg deretter til kvadratet av -\frac{3}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=7+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{3}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=7+\frac{9}{16}$$

Legg sammen 7 og \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{121}{16}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{11}{4}$$

Legg til \frac{3}{4} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$