Løs 2x^2-24x+54=0

$$2 x ^ { 2 } - 24 x + 54 = 0$$

Løs for x

$$x=3$$

$$x=9$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Del begge sidene på 2.

$$x^{2}-12x+27=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som x^{2}+ax+bx+27. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-12 ab=1\times 27=27$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 27.

$$-1,-27 -3,-9$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-27=-28 -3-9=-12$$

Løsningen er paret som gir Summer -12.

$$a=-9 b=-3$$

Skriv om x^{2}-12x+27 som \left(x^{2}-9x\right)+\left(-3x+27\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(-3x+27\right)$$

Faktor ut x i den første og -3 i den andre gruppen.

$$x\left(x-9\right)-3\left(x-9\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-9 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-9\right)\left(x-3\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-9=0 og x-3=0.

$$x=9 x=3$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$2x^{2}-24x+54=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 2 for a, -24 for b og 54 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

Kvadrer -24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

Multipliser -4 ganger 2.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-8\times 54}}{2\times 2}$$

Multipliser -8 ganger 54.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-432}}{2\times 2}$$

Legg sammen 576 og -432.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{144}}{2\times 2}$$

Ta kvadratroten av 144.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±12}{2\times 2}$$

Det motsatte av -24 er 24.

$$x=\frac{24±12}{2\times 2}$$

Multipliser 2 ganger 2.

$$x=\frac{24±12}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{24±12}{4} når ± er pluss. Legg sammen 24 og 12.

$$x=\frac{36}{4}$$

Del 36 på 4.

$$x=9$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{24±12}{4} når ± er minus. Trekk fra 12 fra 24.

$$x=\frac{12}{4}$$

Del 12 på 4.

$$x=3$$

Ligningen er nå løst.

$$x=9 x=3$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-24x+54=0$$

Trekk fra 54 fra begge sider av ligningen.

$$2x^{2}-24x+54-54=-54$$

Når du trekker fra 54 fra seg selv har du 0 igjen.

$$2x^{2}-24x=-54$$

Del begge sidene på 2.

$$\frac{2x^{2}-24x}{2}=-\frac{54}{2}$$

Hvis du deler på 2, gjør du om gangingen med 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{2}\right)x=-\frac{54}{2}$$

Del -24 på 2.

$$x^{2}-12x=-\frac{54}{2}$$

Del -54 på 2.

$$x^{2}-12x=-27$$

Del -12, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -6. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -6 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-27+\left(-6\right)^{2}$$

Kvadrer -6.

$$x^{2}-12x+36=-27+36$$

Legg sammen -27 og 36.

$$x^{2}-12x+36=9$$

Faktoriser x^{2}-12x+36. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-6\right)^{2}=9$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Forenkle.

$$x-6=3 x-6=-3$$

Legg til 6 på begge sider av ligningen.

$$x=9 x=3$$