Løs 2x^2-2x-12=28

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 12 = 28$$

Løs for x

$$x=-4$$

$$x=5$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Trekk fra 28 fra begge sider.

$$2x^{2}-2x-12-28=0$$

Trekk fra 28 fra -12 for å få -40.

$$2x^{2}-2x-40=0$$

Del begge sidene på 2.

$$x^{2}-x-20=0$$

For å løse ligningen faktoriserer du venstre side ved å gruppere. Først må venstre side omskrives som x^{2}+ax+bx-20. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-1 ab=1\left(-20\right)=-20$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Løsningen er paret som gir Summer -1.

$$a=-5 b=4$$

Skriv om x^{2}-x-20 som \left(x^{2}-5x\right)+\left(4x-20\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(4x-20\right)$$

Faktor ut x i den første og 4 i den andre gruppen.

$$x\left(x-5\right)+4\left(x-5\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-5 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-5\right)\left(x+4\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-5=0 og x+4=0.

$$x=5 x=-4$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$2x^{2}-2x-12=28$$

Trekk fra 28 fra begge sider av ligningen.

$$2x^{2}-2x-12-28=28-28$$

Når du trekker fra 28 fra seg selv har du 0 igjen.

$$2x^{2}-2x-12-28=0$$

Trekk fra 28 fra -12.

$$2x^{2}-2x-40=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 2 for a, -2 for b og -40 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrer -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -4 ganger 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -8 ganger -40.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+320}}{2\times 2}$$

Legg sammen 4 og 320.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{324}}{2\times 2}$$

Ta kvadratroten av 324.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±18}{2\times 2}$$

Det motsatte av -2 er 2.

$$x=\frac{2±18}{2\times 2}$$

Multipliser 2 ganger 2.

$$x=\frac{2±18}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{2±18}{4} når ± er pluss. Legg sammen 2 og 18.

$$x=\frac{20}{4}$$

Del 20 på 4.

$$x=5$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{2±18}{4} når ± er minus. Trekk fra 18 fra 2.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Del -16 på 4.

$$x=-4$$

Ligningen er nå løst.

$$x=5 x=-4$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-2x-12=28$$

Legg til 12 på begge sider av ligningen.

$$2x^{2}-2x-12-\left(-12\right)=28-\left(-12\right)$$

Når du trekker fra -12 fra seg selv har du 0 igjen.

$$2x^{2}-2x=28-\left(-12\right)$$

Trekk fra -12 fra 28.

$$2x^{2}-2x=40$$

Del begge sidene på 2.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{40}{2}$$

Hvis du deler på 2, gjør du om gangingen med 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{40}{2}$$

Del -2 på 2.

$$x^{2}-x=\frac{40}{2}$$

Del 40 på 2.

$$x^{2}-x=20$$

Divider -1, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -\frac{1}{2}. Legg deretter til kvadratet av -\frac{1}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=20+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{1}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}$$

Legg sammen 20 og \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{81}{4}$$

Faktoriser x^{2}-x+\frac{1}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}$$

Legg til \frac{1}{2} på begge sider av ligningen.

$$x=5 x=-4$$