Løs 2x^2-2x-1>0

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 1 > 0$$

Løs for x

$$x\in \left(-\infty,\frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{3}+1}{2},\infty\right)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 2 med a, -2 med b, og -1 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

Løs ligningen x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} når ± er pluss og ± er minus.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$2\left(x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)>0$$

Hvis produktet skal være positivt, x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} og x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} må være både negative eller positive. Vurder saken når både x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} og x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} er negative.

$$x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}<0 x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}<0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x<\frac{1-\sqrt{3}}{2}.

$$x<\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Vurder saken når x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} og x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} er positive.

$$x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}>0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x>\frac{\sqrt{3}+1}{2}.

$$x>\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$x<\frac{1-\sqrt{3}}{2}\text{; }x>\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$