Løs 2x^2-19x-10=0

$$2 x ^ { 2 } - 19 x - 10 = 0$$

Løs for x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=10$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 2x^{2}+ax+bx-10. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-19 ab=2\left(-10\right)=-20$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Løsningen er paret som gir Summer -19.

$$a=-20 b=1$$

Skriv om 2x^{2}-19x-10 som \left(2x^{2}-20x\right)+\left(x-10\right).

$$\left(2x^{2}-20x\right)+\left(x-10\right)$$

Faktorer ut 2x i 2x^{2}-20x.

$$2x\left(x-10\right)+x-10$$

Faktorer ut det felles leddet x-10 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-10\right)\left(2x+1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-10=0 og 2x+1=0.

$$x=10 x=-\frac{1}{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$2x^{2}-19x-10=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 2 for a, -19 for b og -10 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrer -19.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -4 ganger 2.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-8\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -8 ganger -10.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361+80}}{2\times 2}$$

Legg sammen 361 og 80.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

Ta kvadratroten av 441.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±21}{2\times 2}$$

Det motsatte av -19 er 19.

$$x=\frac{19±21}{2\times 2}$$

Multipliser 2 ganger 2.

$$x=\frac{19±21}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{19±21}{4} når ± er pluss. Legg sammen 19 og 21.

$$x=\frac{40}{4}$$

Del 40 på 4.

$$x=10$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{19±21}{4} når ± er minus. Trekk fra 21 fra 19.

$$x=-\frac{2}{4}$$

Forkort brøken \frac{-2}{4} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=10 x=-\frac{1}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-19x-10=0$$

Legg til 10 på begge sider av ligningen.

$$2x^{2}-19x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Når du trekker fra -10 fra seg selv har du 0 igjen.

$$2x^{2}-19x=-\left(-10\right)$$

Trekk fra -10 fra 0.

$$2x^{2}-19x=10$$

Del begge sidene på 2.

$$\frac{2x^{2}-19x}{2}=\frac{10}{2}$$

Hvis du deler på 2, gjør du om gangingen med 2.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x=\frac{10}{2}$$

Del 10 på 2.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x=5$$

Del -\frac{19}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{19}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{19}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x+\left(-\frac{19}{4}\right)^{2}=5+\left(-\frac{19}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{19}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}=5+\frac{361}{16}$$

Legg sammen 5 og \frac{361}{16}.

$$x^{2}-\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}=\frac{441}{16}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{19}{2}x+\frac{361}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{19}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{19}{4}=-\frac{21}{4}$$

Legg til \frac{19}{4} på begge sider av ligningen.

$$x=10 x=-\frac{1}{2}$$