Løs 2x^2-15x-1=0

$$2 x ^ { 2 } - 15 x - 1 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{233} + 15}{4} \approx 7,566084381$$

$$x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}\approx -0,066084381$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$2x^{2}-15x-1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 2 for a, -15 for b og -1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrer -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -4 ganger 2.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -8 ganger -1.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+8}}{2\times 2}$$

Legg sammen 225 og 8.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{233}}{2\times 2}$$

Det motsatte av -15 er 15.

$$x=\frac{15±\sqrt{233}}{2\times 2}$$

Multipliser 2 ganger 2.

$$x=\frac{15±\sqrt{233}}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{15±\sqrt{233}}{4} når ± er pluss. Legg sammen 15 og \sqrt{233}.

$$x=\frac{\sqrt{233}+15}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{15±\sqrt{233}}{4} når ± er minus. Trekk fra \sqrt{233} fra 15.

$$x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{233}+15}{4} x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-15x-1=0$$

Legg til 1 på begge sider av ligningen.

$$2x^{2}-15x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Når du trekker fra -1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$2x^{2}-15x=-\left(-1\right)$$

Trekk fra -1 fra 0.

$$2x^{2}-15x=1$$

Del begge sidene på 2.

$$\frac{2x^{2}-15x}{2}=\frac{1}{2}$$

Hvis du deler på 2, gjør du om gangingen med 2.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x=\frac{1}{2}$$

Del -\frac{15}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{15}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{15}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\left(-\frac{15}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{15}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{15}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=\frac{1}{2}+\frac{225}{16}$$

Legg sammen \frac{1}{2} og \frac{225}{16} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=\frac{233}{16}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{4}\right)^{2}=\frac{233}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{233}{16}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{15}{4}=\frac{\sqrt{233}}{4} x-\frac{15}{4}=-\frac{\sqrt{233}}{4}$$

Legg til \frac{15}{4} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{233}+15}{4} x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}$$