Løs 2x^2-11x+16=0

$$2 x ^ { 2 } - 11 x + 16 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4}\approx 2,75+0,661437828i$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}\approx 2,75-0,661437828i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$2x^{2}-11x+16=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 2 for a, -11 for b og 16 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\times 16}}{2\times 2}$$

Kvadrer -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\times 16}}{2\times 2}$$

Multipliser -4 ganger 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\times 16}}{2\times 2}$$

Multipliser -8 ganger 16.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-128}}{2\times 2}$$

Legg sammen 121 og -128.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-7}}{2\times 2}$$

Ta kvadratroten av -7.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{7}i}{2\times 2}$$

Det motsatte av -11 er 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{7}i}{2\times 2}$$

Multipliser 2 ganger 2.

$$x=\frac{11±\sqrt{7}i}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{11±\sqrt{7}i}{4} når ± er pluss. Legg sammen 11 og i\sqrt{7}.

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{11±\sqrt{7}i}{4} når ± er minus. Trekk fra i\sqrt{7} fra 11.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-11x+16=0$$

Trekk fra 16 fra begge sider av ligningen.

$$2x^{2}-11x+16-16=-16$$

Når du trekker fra 16 fra seg selv har du 0 igjen.

$$2x^{2}-11x=-16$$

Del begge sidene på 2.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=-\frac{16}{2}$$

Hvis du deler på 2, gjør du om gangingen med 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-\frac{16}{2}$$

Del -16 på 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-8$$

Del -\frac{11}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{11}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{11}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-8+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{11}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-8+\frac{121}{16}$$

Legg sammen -8 og \frac{121}{16}.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-\frac{7}{16}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{16}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{7}i}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{7}i}{4}$$

Legg til \frac{11}{4} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{11+\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-\sqrt{7}i+11}{4}$$