Løs 2x^2-11x+14=0

$$2 x ^ { 2 } - 11 x + 14 = 0$$

Løs for x

$$x=2$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 2x^{2}+ax+bx+14. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-11 ab=2\times 14=28$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 28.

$$-1,-28 -2,-14 -4,-7$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-28=-29 -2-14=-16 -4-7=-11$$

Løsningen er paret som gir Summer -11.

$$a=-7 b=-4$$

Skriv om 2x^{2}-11x+14 som \left(2x^{2}-7x\right)+\left(-4x+14\right).

$$\left(2x^{2}-7x\right)+\left(-4x+14\right)$$

Faktor ut x i den første og -2 i den andre gruppen.

$$x\left(2x-7\right)-2\left(2x-7\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 2x-7 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(2x-7\right)\left(x-2\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 2x-7=0 og x-2=0.

$$x=\frac{7}{2} x=2$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$2x^{2}-11x+14=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 2 for a, -11 for b og 14 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\times 14}}{2\times 2}$$

Kvadrer -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\times 14}}{2\times 2}$$

Multipliser -4 ganger 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\times 14}}{2\times 2}$$

Multipliser -8 ganger 14.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-112}}{2\times 2}$$

Legg sammen 121 og -112.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Ta kvadratroten av 9.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±3}{2\times 2}$$

Det motsatte av -11 er 11.

$$x=\frac{11±3}{2\times 2}$$

Multipliser 2 ganger 2.

$$x=\frac{11±3}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{11±3}{4} når ± er pluss. Legg sammen 11 og 3.

$$x=\frac{14}{4}$$

Forkort brøken \frac{14}{4} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=\frac{7}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{11±3}{4} når ± er minus. Trekk fra 3 fra 11.

$$x=\frac{8}{4}$$

Del 8 på 4.

$$x=2$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{7}{2} x=2$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-11x+14=0$$

Trekk fra 14 fra begge sider av ligningen.

$$2x^{2}-11x+14-14=-14$$

Når du trekker fra 14 fra seg selv har du 0 igjen.

$$2x^{2}-11x=-14$$

Del begge sidene på 2.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=-\frac{14}{2}$$

Hvis du deler på 2, gjør du om gangingen med 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-\frac{14}{2}$$

Del -14 på 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-7$$

Del -\frac{11}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{11}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{11}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-7+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{11}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-7+\frac{121}{16}$$

Legg sammen -7 og \frac{121}{16}.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{9}{16}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{3}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{3}{4}$$

Legg til \frac{11}{4} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{7}{2} x=2$$