Løs 2x^2-10x=6+11sqrt{x^2-5x}

$$2 x ^ { 2 } - 10 x = 6 + 11 \sqrt { x ^ { 2 } - 5 x }$$

Løs for x

$$x=-4$$

$$x=9$$

Løsningstrinn

Trekk fra 6 fra begge sider av ligningen.

$$2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x}$$

Kvadrer begge sider av ligningen.

$$\left(2x^{2}-10x-6\right)^{2}=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Kvadrer 2x^{2}-10x-6.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Utvid \left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=11^{2}\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Regn ut 11 opphøyd i 2 og få 121.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{x^{2}-5x} opphøyd i 2 og få x^{2}-5x.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(x^{2}-5x\right)$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 121 med x^{2}-5x.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121x^{2}-605x$$

Trekk fra 121x^{2} fra begge sider.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36-121x^{2}=-605x$$

Kombiner 76x^{2} og -121x^{2} for å få -45x^{2}.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36=-605x$$

Legg til 605x på begge sider.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36+605x=0$$

Kombiner 120x og 605x for å få 725x.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36=0$$

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet 36 og q dividerer den ledende koeffisienten 4. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±9,±18,±36,±\frac{9}{2},±3,±6,±12,±\frac{9}{4},±\frac{3}{2},±1,±2,±4,±\frac{3}{4},±\frac{1}{2},±\frac{1}{4}$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=-4$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del 4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36 på x+4 for å få 4x^{3}-56x^{2}+179x+9. Løs formelen der resultatet er lik 0.

$$4x^{3}-56x^{2}+179x+9=0$$

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet 9 og q dividerer den ledende koeffisienten 4. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=9$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del 4x^{3}-56x^{2}+179x+9 på x-9 for å få 4x^{2}-20x-1. Løs formelen der resultatet er lik 0.

$$4x^{2}-20x-1=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 4 med a, -20 med b, og -1 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{20±4\sqrt{26}}{8}$$

Løs ligningen 4x^{2}-20x-1=0 når ± er pluss og ± er minus.

$$x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

Vis alle løsninger som er funnet.

$$x=-4 x=9 x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

Erstatt -4 med x i ligningen 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\left(-4\right)^{2}-10\left(-4\right)=6+11\sqrt{\left(-4\right)^{2}-5\left(-4\right)}$$

Forenkle. Verdien x=-4 tilfredsstiller ligningen.

$$72=72$$

Erstatt 9 med x i ligningen 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times 9^{2}-10\times 9=6+11\sqrt{9^{2}-5\times 9}$$

Forenkle. Verdien x=9 tilfredsstiller ligningen.

$$72=72$$

Erstatt \frac{5-\sqrt{26}}{2} med x i ligningen 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times \left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-10\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-5\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}}$$

Forenkle. Verdien x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} oppfyller ikke formelen.

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

Erstatt \frac{\sqrt{26}+5}{2} med x i ligningen 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times \left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-10\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-5\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}}$$

Forenkle. Verdien x=\frac{\sqrt{26}+5}{2} oppfyller ikke formelen.

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

Vis alle løsninger på 2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$x=-4 x=9$$