Løs 2x^2+9x-1=0

$$2 x ^ { 2 } + 9 x - 1 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{89}-9}{4}\approx 0,108495283$$

$$x=\frac{-\sqrt{89}-9}{4}\approx -4,608495283$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$2x^{2}+9x-1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 2 for a, 9 for b og -1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrer 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -4 ganger 2.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -8 ganger -1.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+8}}{2\times 2}$$

Legg sammen 81 og 8.

$$x=\frac{-9±\sqrt{89}}{2\times 2}$$

Multipliser 2 ganger 2.

$$x=\frac{-9±\sqrt{89}}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-9±\sqrt{89}}{4} når ± er pluss. Legg sammen -9 og \sqrt{89}.

$$x=\frac{\sqrt{89}-9}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-9±\sqrt{89}}{4} når ± er minus. Trekk fra \sqrt{89} fra -9.

$$x=\frac{-\sqrt{89}-9}{4}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{89}-9}{4} x=\frac{-\sqrt{89}-9}{4}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+9x-1=0$$

Legg til 1 på begge sider av ligningen.

$$2x^{2}+9x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Når du trekker fra -1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$2x^{2}+9x=-\left(-1\right)$$

Trekk fra -1 fra 0.

$$2x^{2}+9x=1$$

Del begge sidene på 2.

$$\frac{2x^{2}+9x}{2}=\frac{1}{2}$$

Hvis du deler på 2, gjør du om gangingen med 2.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x=\frac{1}{2}$$

Divider \frac{9}{2}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få \frac{9}{4}. Legg deretter til kvadratet av \frac{9}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{9}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{1}{2}+\frac{81}{16}$$

Legg sammen \frac{1}{2} og \frac{81}{16} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{89}{16}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{89}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{89}{16}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{9}{4}=\frac{\sqrt{89}}{4} x+\frac{9}{4}=-\frac{\sqrt{89}}{4}$$

Trekk fra \frac{9}{4} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{89}-9}{4} x=\frac{-\sqrt{89}-9}{4}$$