Løs 2x^2+5x-18=0

$$2 x ^ { 2 } + 5 x - 18 = 0$$

Løs for x

$$x = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4,5$$

$$x=2$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 2x^{2}+ax+bx-18. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=5 ab=2\left(-18\right)=-36$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -36.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

Løsningen er paret som gir Summer 5.

$$a=-4 b=9$$

Skriv om 2x^{2}+5x-18 som \left(2x^{2}-4x\right)+\left(9x-18\right).

$$\left(2x^{2}-4x\right)+\left(9x-18\right)$$

Faktor ut 2x i den første og 9 i den andre gruppen.

$$2x\left(x-2\right)+9\left(x-2\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-2 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-2\right)\left(2x+9\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-2=0 og 2x+9=0.

$$x=2 x=-\frac{9}{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$2x^{2}+5x-18=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 2 for a, 5 for b og -18 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrer 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -4 ganger 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -8 ganger -18.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+144}}{2\times 2}$$

Legg sammen 25 og 144.

$$x=\frac{-5±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Ta kvadratroten av 169.

$$x=\frac{-5±13}{2\times 2}$$

Multipliser 2 ganger 2.

$$x=\frac{-5±13}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-5±13}{4} når ± er pluss. Legg sammen -5 og 13.

$$x=\frac{8}{4}$$

Del 8 på 4.

$$x=2$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-5±13}{4} når ± er minus. Trekk fra 13 fra -5.

$$x=-\frac{18}{4}$$

Forkort brøken \frac{-18}{4} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=-\frac{9}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=2 x=-\frac{9}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+5x-18=0$$

Legg til 18 på begge sider av ligningen.

$$2x^{2}+5x-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

Når du trekker fra -18 fra seg selv har du 0 igjen.

$$2x^{2}+5x=-\left(-18\right)$$

Trekk fra -18 fra 0.

$$2x^{2}+5x=18$$

Del begge sidene på 2.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{18}{2}$$

Hvis du deler på 2, gjør du om gangingen med 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{18}{2}$$

Del 18 på 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=9$$

Del \frac{5}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{5}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{5}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=9+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{5}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=9+\frac{25}{16}$$

Legg sammen 9 og \frac{25}{16}.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{169}{16}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{13}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{13}{4}$$

Trekk fra \frac{5}{4} fra begge sider av ligningen.

$$x=2 x=-\frac{9}{2}$$