Løs 2x^2+5x-12=0

$$2 x ^ { 2 } + 5 x - 12 = 0$$

Løs for x

$$x=-4$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen faktoriserer du venstre side ved å gruppere. Først må venstre side omskrives som 2x^{2}+ax+bx-12. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=5 ab=2\left(-12\right)=-24$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Løsningen er paret som gir Summer 5.

$$a=-3 b=8$$

Skriv om 2x^{2}+5x-12 som \left(2x^{2}-3x\right)+\left(8x-12\right).

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(8x-12\right)$$

Faktor ut x i den første og 4 i den andre gruppen.

$$x\left(2x-3\right)+4\left(2x-3\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 2x-3 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(2x-3\right)\left(x+4\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 2x-3=0 og x+4=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-4$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$2x^{2}+5x-12=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 2 for a, 5 for b og -12 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrer 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -4 ganger 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -8 ganger -12.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+96}}{2\times 2}$$

Legg sammen 25 og 96.

$$x=\frac{-5±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Ta kvadratroten av 121.

$$x=\frac{-5±11}{2\times 2}$$

Multipliser 2 ganger 2.

$$x=\frac{-5±11}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-5±11}{4} når ± er pluss. Legg sammen -5 og 11.

$$x=\frac{6}{4}$$

Forkort brøken \frac{6}{4} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-5±11}{4} når ± er minus. Trekk fra 11 fra -5.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Del -16 på 4.

$$x=-4$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{3}{2} x=-4$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+5x-12=0$$

Legg til 12 på begge sider av ligningen.

$$2x^{2}+5x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Når du trekker fra -12 fra seg selv har du 0 igjen.

$$2x^{2}+5x=-\left(-12\right)$$

Trekk fra -12 fra 0.

$$2x^{2}+5x=12$$

Del begge sidene på 2.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{12}{2}$$

Hvis du deler på 2, gjør du om gangingen med 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{12}{2}$$

Del 12 på 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=6$$

Divider \frac{5}{2}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få \frac{5}{4}. Legg deretter til kvadratet av \frac{5}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=6+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{5}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=6+\frac{25}{16}$$

Legg sammen 6 og \frac{25}{16}.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{121}{16}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{11}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{11}{4}$$

Trekk fra \frac{5}{4} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{3}{2} x=-4$$