Løs 2x^2+32x-114=0

$$2 x ^ { 2 } + 32 x - 114 = 0$$

Løs for x

$$x=-19$$

$$x=3$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Del begge sidene på 2.

$$x^{2}+16x-57=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som x^{2}+ax+bx-57. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=16 ab=1\left(-57\right)=-57$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -57.

$$-1,57 -3,19$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+57=56 -3+19=16$$

Løsningen er paret som gir Summer 16.

$$a=-3 b=19$$

Skriv om x^{2}+16x-57 som \left(x^{2}-3x\right)+\left(19x-57\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(19x-57\right)$$

Faktor ut x i den første og 19 i den andre gruppen.

$$x\left(x-3\right)+19\left(x-3\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-3 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-3\right)\left(x+19\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-3=0 og x+19=0.

$$x=3 x=-19$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$2x^{2}+32x-114=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 2 for a, 32 for b og -114 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 2\left(-114\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrer 32.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 2\left(-114\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -4 ganger 2.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-8\left(-114\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -8 ganger -114.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024+912}}{2\times 2}$$

Legg sammen 1024 og 912.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1936}}{2\times 2}$$

Ta kvadratroten av 1936.

$$x=\frac{-32±44}{2\times 2}$$

Multipliser 2 ganger 2.

$$x=\frac{-32±44}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-32±44}{4} når ± er pluss. Legg sammen -32 og 44.

$$x=\frac{12}{4}$$

Del 12 på 4.

$$x=3$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-32±44}{4} når ± er minus. Trekk fra 44 fra -32.

$$x=-\frac{76}{4}$$

Del -76 på 4.

$$x=-19$$

Ligningen er nå løst.

$$x=3 x=-19$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+32x-114=0$$

Legg til 114 på begge sider av ligningen.

$$2x^{2}+32x-114-\left(-114\right)=-\left(-114\right)$$

Når du trekker fra -114 fra seg selv har du 0 igjen.

$$2x^{2}+32x=-\left(-114\right)$$

Trekk fra -114 fra 0.

$$2x^{2}+32x=114$$

Del begge sidene på 2.

$$\frac{2x^{2}+32x}{2}=\frac{114}{2}$$

Hvis du deler på 2, gjør du om gangingen med 2.

$$x^{2}+\frac{32}{2}x=\frac{114}{2}$$

Del 32 på 2.

$$x^{2}+16x=\frac{114}{2}$$

Del 114 på 2.

$$x^{2}+16x=57$$

Del 16, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få 8. Deretter legger du til kvadrat firkanten av 8 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+16x+8^{2}=57+8^{2}$$

Kvadrer 8.

$$x^{2}+16x+64=57+64$$

Legg sammen 57 og 64.

$$x^{2}+16x+64=121$$

Faktoriser x^{2}+16x+64. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+8\right)^{2}=121$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+8\right)^{2}}=\sqrt{121}$$

Forenkle.

$$x+8=11 x+8=-11$$

Trekk fra 8 fra begge sider av ligningen.

$$x=3 x=-19$$