Løs 2x^2+3x-90=0

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 90 = 0$$

Løs for x

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7,5$$

$$x=6$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 2x^{2}+ax+bx-90. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=3 ab=2\left(-90\right)=-180$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -180.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

Løsningen er paret som gir Summer 3.

$$a=-12 b=15$$

Skriv om 2x^{2}+3x-90 som \left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right).

$$\left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right)$$

Faktor ut 2x i den første og 15 i den andre gruppen.

$$2x\left(x-6\right)+15\left(x-6\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-6 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-6\right)\left(2x+15\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-6=0 og 2x+15=0.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 2 for a, 3 for b og -90 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrer 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -4 ganger 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -8 ganger -90.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+720}}{2\times 2}$$

Legg sammen 9 og 720.

$$x=\frac{-3±\sqrt{729}}{2\times 2}$$

Ta kvadratroten av 729.

$$x=\frac{-3±27}{2\times 2}$$

Multipliser 2 ganger 2.

$$x=\frac{-3±27}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-3±27}{4} når ± er pluss. Legg sammen -3 og 27.

$$x=\frac{24}{4}$$

Del 24 på 4.

$$x=6$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-3±27}{4} når ± er minus. Trekk fra 27 fra -3.

$$x=-\frac{30}{4}$$

Forkort brøken \frac{-30}{4} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

Legg til 90 på begge sider av ligningen.

$$2x^{2}+3x-90-\left(-90\right)=-\left(-90\right)$$

Når du trekker fra -90 fra seg selv har du 0 igjen.

$$2x^{2}+3x=-\left(-90\right)$$

Trekk fra -90 fra 0.

$$2x^{2}+3x=90$$

Del begge sidene på 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{90}{2}$$

Hvis du deler på 2, gjør du om gangingen med 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{90}{2}$$

Del 90 på 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=45$$

Del \frac{3}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{3}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{3}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=45+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{3}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=45+\frac{9}{16}$$

Legg sammen 45 og \frac{9}{16}.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{729}{16}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{729}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{16}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{27}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{27}{4}$$

Trekk fra \frac{3}{4} fra begge sider av ligningen.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$