Løs 2x^2+3x-20=0

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 20 = 0$$

Løs for x

$$x=-4$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen faktoriserer du venstre side ved å gruppere. Først må venstre side omskrives som 2x^{2}+ax+bx-20. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=3 ab=2\left(-20\right)=-40$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -40.

$$-1,40 -2,20 -4,10 -5,8$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+40=39 -2+20=18 -4+10=6 -5+8=3$$

Løsningen er paret som gir Summer 3.

$$a=-5 b=8$$

Skriv om 2x^{2}+3x-20 som \left(2x^{2}-5x\right)+\left(8x-20\right).

$$\left(2x^{2}-5x\right)+\left(8x-20\right)$$

Faktor ut x i den første og 4 i den andre gruppen.

$$x\left(2x-5\right)+4\left(2x-5\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 2x-5 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(2x-5\right)\left(x+4\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 2x-5=0 og x+4=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$2x^{2}+3x-20=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 2 for a, 3 for b og -20 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrer 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -4 ganger 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -8 ganger -20.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+160}}{2\times 2}$$

Legg sammen 9 og 160.

$$x=\frac{-3±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Ta kvadratroten av 169.

$$x=\frac{-3±13}{2\times 2}$$

Multipliser 2 ganger 2.

$$x=\frac{-3±13}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-3±13}{4} når ± er pluss. Legg sammen -3 og 13.

$$x=\frac{10}{4}$$

Forkort brøken \frac{10}{4} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=\frac{5}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-3±13}{4} når ± er minus. Trekk fra 13 fra -3.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Del -16 på 4.

$$x=-4$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x-20=0$$

Legg til 20 på begge sider av ligningen.

$$2x^{2}+3x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

Når du trekker fra -20 fra seg selv har du 0 igjen.

$$2x^{2}+3x=-\left(-20\right)$$

Trekk fra -20 fra 0.

$$2x^{2}+3x=20$$

Del begge sidene på 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{20}{2}$$

Hvis du deler på 2, gjør du om gangingen med 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{20}{2}$$

Del 20 på 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=10$$

Divider \frac{3}{2}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få \frac{3}{4}. Legg deretter til kvadratet av \frac{3}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=10+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{3}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=10+\frac{9}{16}$$

Legg sammen 10 og \frac{9}{16}.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{169}{16}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{13}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{13}{4}$$

Trekk fra \frac{3}{4} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$