Løs 2x^2+2x-24=0

$$2 x ^ { 2 } + 2 x - 24 = 0$$

Løs for x

$$x=-4$$

$$x=3$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Del begge sidene på 2.

$$x^{2}+x-12=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som x^{2}+ax+bx-12. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=1 ab=1\left(-12\right)=-12$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Løsningen er paret som gir Summer 1.

$$a=-3 b=4$$

Skriv om x^{2}+x-12 som \left(x^{2}-3x\right)+\left(4x-12\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(4x-12\right)$$

Faktor ut x i den første og 4 i den andre gruppen.

$$x\left(x-3\right)+4\left(x-3\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-3 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-3\right)\left(x+4\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-3=0 og x+4=0.

$$x=3 x=-4$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$2x^{2}+2x-24=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 2 for a, 2 for b og -24 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrer 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -4 ganger 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -8 ganger -24.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+192}}{2\times 2}$$

Legg sammen 4 og 192.

$$x=\frac{-2±\sqrt{196}}{2\times 2}$$

Ta kvadratroten av 196.

$$x=\frac{-2±14}{2\times 2}$$

Multipliser 2 ganger 2.

$$x=\frac{-2±14}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-2±14}{4} når ± er pluss. Legg sammen -2 og 14.

$$x=\frac{12}{4}$$

Del 12 på 4.

$$x=3$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-2±14}{4} når ± er minus. Trekk fra 14 fra -2.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Del -16 på 4.

$$x=-4$$

Ligningen er nå løst.

$$x=3 x=-4$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+2x-24=0$$

Legg til 24 på begge sider av ligningen.

$$2x^{2}+2x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Når du trekker fra -24 fra seg selv har du 0 igjen.

$$2x^{2}+2x=-\left(-24\right)$$

Trekk fra -24 fra 0.

$$2x^{2}+2x=24$$

Del begge sidene på 2.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=\frac{24}{2}$$

Hvis du deler på 2, gjør du om gangingen med 2.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=\frac{24}{2}$$

Del 2 på 2.

$$x^{2}+x=\frac{24}{2}$$

Del 24 på 2.

$$x^{2}+x=12$$

Del 1, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{1}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{1}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=12+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{1}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=12+\frac{1}{4}$$

Legg sammen 12 og \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{49}{4}$$

Faktoriser x^{2}+x+\frac{1}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{7}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{7}{2}$$

Trekk fra \frac{1}{2} fra begge sider av ligningen.

$$x=3 x=-4$$