Løs 2x^2+2x+1=0

$$2 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i=-0,5+0,5i$$

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i=-0,5-0,5i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$2x^{2}+2x+1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 2 for a, 2 for b og 1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2}}{2\times 2}$$

Kvadrer 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2}}{2\times 2}$$

Multipliser -4 ganger 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8}}{2\times 2}$$

Legg sammen 4 og -8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-4}}{2\times 2}$$

Ta kvadratroten av -4.

$$x=\frac{-2±2i}{2\times 2}$$

Multipliser 2 ganger 2.

$$x=\frac{-2±2i}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-2±2i}{4} når ± er pluss. Legg sammen -2 og 2i.

$$x=\frac{-2+2i}{4}$$

Del -2+2i på 4.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-2±2i}{4} når ± er minus. Trekk fra 2i fra -2.

$$x=\frac{-2-2i}{4}$$

Del -2-2i på 4.

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

Ligningen er nå løst.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+2x+1=0$$

Trekk fra 1 fra begge sider av ligningen.

$$2x^{2}+2x+1-1=-1$$

Når du trekker fra 1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$2x^{2}+2x=-1$$

Del begge sidene på 2.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=-\frac{1}{2}$$

Hvis du deler på 2, gjør du om gangingen med 2.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=-\frac{1}{2}$$

Del 2 på 2.

$$x^{2}+x=-\frac{1}{2}$$

Del 1, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{1}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{1}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{1}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Legg sammen -\frac{1}{2} og \frac{1}{4} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$$

Faktoriser x^{2}+x+\frac{1}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{4}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}i x+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}i$$

Trekk fra \frac{1}{2} fra begge sider av ligningen.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$