Løs 2x^2+10x=72

$$2 x ^ { 2 } + 10 x = 72$$

Løs for x

$$x=-9$$

$$x=4$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Trekk fra 72 fra begge sider.

$$2x^{2}+10x-72=0$$

Del begge sidene på 2.

$$x^{2}+5x-36=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som x^{2}+ax+bx-36. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=5 ab=1\left(-36\right)=-36$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -36.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

Løsningen er paret som gir Summer 5.

$$a=-4 b=9$$

Skriv om x^{2}+5x-36 som \left(x^{2}-4x\right)+\left(9x-36\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(9x-36\right)$$

Faktor ut x i den første og 9 i den andre gruppen.

$$x\left(x-4\right)+9\left(x-4\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-4 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-4\right)\left(x+9\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-4=0 og x+9=0.

$$x=4 x=-9$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$2x^{2}+10x=72$$

Trekk fra 72 fra begge sider av ligningen.

$$2x^{2}+10x-72=72-72$$

Når du trekker fra 72 fra seg selv har du 0 igjen.

$$2x^{2}+10x-72=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 2 for a, 10 for b og -72 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 2\left(-72\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrer 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 2\left(-72\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -4 ganger 2.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-8\left(-72\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -8 ganger -72.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+576}}{2\times 2}$$

Legg sammen 100 og 576.

$$x=\frac{-10±\sqrt{676}}{2\times 2}$$

Ta kvadratroten av 676.

$$x=\frac{-10±26}{2\times 2}$$

Multipliser 2 ganger 2.

$$x=\frac{-10±26}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-10±26}{4} når ± er pluss. Legg sammen -10 og 26.

$$x=\frac{16}{4}$$

Del 16 på 4.

$$x=4$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-10±26}{4} når ± er minus. Trekk fra 26 fra -10.

$$x=-\frac{36}{4}$$

Del -36 på 4.

$$x=-9$$

Ligningen er nå løst.

$$x=4 x=-9$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+10x=72$$

Del begge sidene på 2.

$$\frac{2x^{2}+10x}{2}=\frac{72}{2}$$

Hvis du deler på 2, gjør du om gangingen med 2.

$$x^{2}+\frac{10}{2}x=\frac{72}{2}$$

Del 10 på 2.

$$x^{2}+5x=\frac{72}{2}$$

Del 72 på 2.

$$x^{2}+5x=36$$

Del 5, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{5}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{5}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=36+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{5}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=36+\frac{25}{4}$$

Legg sammen 36 og \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{169}{4}$$

Faktoriser x^{2}+5x+\frac{25}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{13}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{13}{2}$$

Trekk fra \frac{5}{2} fra begge sider av ligningen.

$$x=4 x=-9$$