Løs 2x+y=1text{and}x-y=-4

$$2 x + y = 1 \text { and } x - y = - 4$$

Løs for x, y

$$x=-1$$

$$y=3$$

Fremgangsmåten ved bruk av innsetting

Hvis du vil løse et ligningspar ved hjelp av innsetting, løser du først en av ligningene for å få en variabel. Deretter setter du inn resultatet for denne variabelen i den andre ligningen.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Velg én av ligningene, og løs den for x ved å isolere x på venstre side av likhetstegnet.

$$2x+y=1$$

Trekk fra y fra begge sider av ligningen.

$$2x=-y+1$$

Del begge sidene på 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+1\right)$$

Multipliser \frac{1}{2} ganger -y+1.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Sett inn \frac{-y+1}{2} for x i den andre formelen, x-y=-4.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}-y=-4$$

Legg sammen -\frac{y}{2} og -y.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=-4$$

Trekk fra \frac{1}{2} fra begge sider av ligningen.

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{9}{2}$$

Del begge sidene av ligningen på -\frac{3}{2}, som er det samme som å multiplisere begge sidene med den resiproke verdien av brøken.

$$y=3$$

Sett inn 3 for y i x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$x=-\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{2}$$

Multipliser -\frac{1}{2} ganger 3.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Legg sammen \frac{1}{2} og -\frac{3}{2} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x=-1$$

Systemet er nå løst.

$$x=-1,y=3$$

Fremgangsmåten ved hjelp av matriser

Skriv ligningene i standardformat, og bruk matriser til å løse ligningssystemet.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Skriv ligningen i matriseform.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Venstremultipliser formelen med den inverse matrisen til \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Produktet av en matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplisere matriser på venstre side av likhetstegnet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrisen\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), er den inverse matrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matriseformelen kan skrives om som matrisemultiplikasjon.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Multipliser matrisene.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\left(-4\right)\\\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Trekk ut matriseelementene x og y.

$$x=-1,y=3$$

Fremgangsmåten ved hjelp av eliminasjon

Hvis du vil løse ved eliminasjon, må koeffisienten til en av variablene være den samme i begge formlene, slik at variabelen elimineres når én ligning trekkes fra den andre.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

For å gjøre 2x og x lik multipliserer du alle leddene på hver side av den første ligningen med 1 og alle leddene på hver side av den andre ligningen med 2.

$$2x+y=1,2x+2\left(-1\right)y=2\left(-4\right)$$

Forenkle.

$$2x+y=1,2x-2y=-8$$

Trekk fra 2x-2y=-8 fra 2x+y=1 ved å trekke fra tilsvarende ledd på hver side av likhetstegnet.

$$2x-2x+y+2y=1+8$$

Legg sammen 2x og -2x. Vilkårene 2x og -2x eliminerer hverandre, slik at vi får en formel med bare én variabel som kan løses.

$$y+2y=1+8$$

Legg sammen y og 2y.

$$3y=1+8$$

Legg sammen 1 og 8.

$$3y=9$$

Del begge sidene på 3.

$$y=3$$

Sett inn 3 for y i x-y=-4. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$x-3=-4$$

Legg til 3 på begge sider av ligningen.

$$x=-1$$

Systemet er nå løst.

$$x=-1,y=3$$