Løs 2x+3y=6quadtext{and}quad6x-5y=4

$$2 x + 3 y = 6 \quad \text { and } \quad 6 x - 5 y = 4$$

Løs for x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

$$y=1$$

Fremgangsmåten ved bruk av innsetting

Hvis du vil løse et ligningspar ved hjelp av innsetting, løser du først en av ligningene for å få en variabel. Deretter setter du inn resultatet for denne variabelen i den andre ligningen.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Velg én av ligningene, og løs den for x ved å isolere x på venstre side av likhetstegnet.

$$2x+3y=6$$

Trekk fra 3y fra begge sider av ligningen.

$$2x=-3y+6$$

Del begge sidene på 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+6\right)$$

Multipliser \frac{1}{2} ganger -3y+6.

$$x=-\frac{3}{2}y+3$$

Sett inn -\frac{3y}{2}+3 for x i den andre formelen, 6x-5y=4.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+3\right)-5y=4$$

Multipliser 6 ganger -\frac{3y}{2}+3.

$$-9y+18-5y=4$$

Legg sammen -9y og -5y.

$$-14y+18=4$$

Trekk fra 18 fra begge sider av ligningen.

$$-14y=-14$$

Del begge sidene på -14.

$$y=1$$

Sett inn 1 for y i x=-\frac{3}{2}y+3. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$x=-\frac{3}{2}+3$$

Legg sammen 3 og -\frac{3}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

Systemet er nå løst.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Fremgangsmåten ved hjelp av matriser

Skriv ligningene i standardformat, og bruk matriser til å løse ligningssystemet.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Skriv ligningen i matriseform.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Venstremultipliser formelen med den inverse matrisen til \left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Produktet av en matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplisere matriser på venstre side av likhetstegnet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrisen\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), er den inverse matrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matriseformelen kan skrives om som matrisemultiplikasjon.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-3\times 6}&-\frac{3}{2\left(-5\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{2\left(-5\right)-3\times 6}&\frac{2}{2\left(-5\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}&\frac{3}{28}\\\frac{3}{14}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Multipliser matrisene.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}\times 6+\frac{3}{28}\times 4\\\frac{3}{14}\times 6-\frac{1}{14}\times 4\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\1\end{matrix}\right)$$

Trekk ut matriseelementene x og y.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Fremgangsmåten ved hjelp av eliminasjon

Hvis du vil løse ved eliminasjon, må koeffisienten til en av variablene være den samme i begge formlene, slik at variabelen elimineres når én ligning trekkes fra den andre.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

For å gjøre 2x og 6x lik multipliserer du alle leddene på hver side av den første ligningen med 6 og alle leddene på hver side av den andre ligningen med 2.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 6,2\times 6x+2\left(-5\right)y=2\times 4$$

Forenkle.

$$12x+18y=36,12x-10y=8$$

Trekk fra 12x-10y=8 fra 12x+18y=36 ved å trekke fra tilsvarende ledd på hver side av likhetstegnet.

$$12x-12x+18y+10y=36-8$$

Legg sammen 12x og -12x. Vilkårene 12x og -12x eliminerer hverandre, slik at vi får en formel med bare én variabel som kan løses.

$$18y+10y=36-8$$

Legg sammen 18y og 10y.

$$28y=36-8$$

Legg sammen 36 og -8.

$$28y=28$$

Del begge sidene på 28.

$$y=1$$

Sett inn 1 for y i 6x-5y=4. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$6x-5=4$$

Legg til 5 på begge sider av ligningen.

$$6x=9$$

Del begge sidene på 6.

$$x=\frac{3}{2}$$

Systemet er nå løst.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$