Løs 2t^2-9t+9=0

$$2 t ^ { 2 } - 9 t + 9 = 0$$

Løs for t

$$t = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

$$t=3$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 2t^{2}+at+bt+9. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-9 ab=2\times 9=18$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 18.

$$-1,-18 -2,-9 -3,-6$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-18=-19 -2-9=-11 -3-6=-9$$

Løsningen er paret som gir Summer -9.

$$a=-6 b=-3$$

Skriv om 2t^{2}-9t+9 som \left(2t^{2}-6t\right)+\left(-3t+9\right).

$$\left(2t^{2}-6t\right)+\left(-3t+9\right)$$

Faktor ut 2t i den første og -3 i den andre gruppen.

$$2t\left(t-3\right)-3\left(t-3\right)$$

Faktorer ut det felles leddet t-3 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(t-3\right)\left(2t-3\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse t-3=0 og 2t-3=0.

$$t=3 t=\frac{3}{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$2t^{2}-9t+9=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 2 for a, -9 for b og 9 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

Kvadrer -9.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

Multipliser -4 ganger 2.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-8\times 9}}{2\times 2}$$

Multipliser -8 ganger 9.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72}}{2\times 2}$$

Legg sammen 81 og -72.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Ta kvadratroten av 9.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±3}{2\times 2}$$

Det motsatte av -9 er 9.

$$t=\frac{9±3}{2\times 2}$$

Multipliser 2 ganger 2.

$$t=\frac{9±3}{4}$$

Nå kan du løse formelen t=\frac{9±3}{4} når ± er pluss. Legg sammen 9 og 3.

$$t=\frac{12}{4}$$

Del 12 på 4.

$$t=3$$

Nå kan du løse formelen t=\frac{9±3}{4} når ± er minus. Trekk fra 3 fra 9.

$$t=\frac{6}{4}$$

Forkort brøken \frac{6}{4} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$t=\frac{3}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$t=3 t=\frac{3}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$2t^{2}-9t+9=0$$

Trekk fra 9 fra begge sider av ligningen.

$$2t^{2}-9t+9-9=-9$$

Når du trekker fra 9 fra seg selv har du 0 igjen.

$$2t^{2}-9t=-9$$

Del begge sidene på 2.

$$\frac{2t^{2}-9t}{2}=-\frac{9}{2}$$

Hvis du deler på 2, gjør du om gangingen med 2.

$$t^{2}-\frac{9}{2}t=-\frac{9}{2}$$

Del -\frac{9}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{9}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{9}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$t^{2}-\frac{9}{2}t+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{9}{2}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{9}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$t^{2}-\frac{9}{2}t+\frac{81}{16}=-\frac{9}{2}+\frac{81}{16}$$

Legg sammen -\frac{9}{2} og \frac{81}{16} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$t^{2}-\frac{9}{2}t+\frac{81}{16}=\frac{9}{16}$$

Faktoriser t^{2}-\frac{9}{2}t+\frac{81}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(t-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Forenkle.

$$t-\frac{9}{4}=\frac{3}{4} t-\frac{9}{4}=-\frac{3}{4}$$

Legg til \frac{9}{4} på begge sider av ligningen.

$$t=3 t=\frac{3}{2}$$