Løs 2r^2+r-1=0

$$2 r ^ { 2 } + r - 1 = 0$$

Løs for r

$$r=-1$$

$$r=\frac{1}{2}=0,5$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 2r^{2}+ar+br-1. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=1 ab=2\left(-1\right)=-2$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Det eneste paret er system løsningen.

$$a=-1 b=2$$

Skriv om 2r^{2}+r-1 som \left(2r^{2}-r\right)+\left(2r-1\right).

$$\left(2r^{2}-r\right)+\left(2r-1\right)$$

Faktorer ut r i 2r^{2}-r.

$$r\left(2r-1\right)+2r-1$$

Faktorer ut det felles leddet 2r-1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(2r-1\right)\left(r+1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 2r-1=0 og r+1=0.

$$r=\frac{1}{2} r=-1$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$2r^{2}+r-1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 2 for a, 1 for b og -1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrer 1.

$$r=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -4 ganger 2.

$$r=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -8 ganger -1.

$$r=\frac{-1±\sqrt{1+8}}{2\times 2}$$

Legg sammen 1 og 8.

$$r=\frac{-1±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Ta kvadratroten av 9.

$$r=\frac{-1±3}{2\times 2}$$

Multipliser 2 ganger 2.

$$r=\frac{-1±3}{4}$$

Nå kan du løse formelen r=\frac{-1±3}{4} når ± er pluss. Legg sammen -1 og 3.

$$r=\frac{2}{4}$$

Forkort brøken \frac{2}{4} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$r=\frac{1}{2}$$

Nå kan du løse formelen r=\frac{-1±3}{4} når ± er minus. Trekk fra 3 fra -1.

$$r=-\frac{4}{4}$$

Del -4 på 4.

$$r=-1$$

Ligningen er nå løst.

$$r=\frac{1}{2} r=-1$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$2r^{2}+r-1=0$$

Legg til 1 på begge sider av ligningen.

$$2r^{2}+r-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Når du trekker fra -1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$2r^{2}+r=-\left(-1\right)$$

Trekk fra -1 fra 0.

$$2r^{2}+r=1$$

Del begge sidene på 2.

$$\frac{2r^{2}+r}{2}=\frac{1}{2}$$

Hvis du deler på 2, gjør du om gangingen med 2.

$$r^{2}+\frac{1}{2}r=\frac{1}{2}$$

Del \frac{1}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{1}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{1}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$r^{2}+\frac{1}{2}r+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{1}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$r^{2}+\frac{1}{2}r+\frac{1}{16}=\frac{1}{2}+\frac{1}{16}$$

Legg sammen \frac{1}{2} og \frac{1}{16} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$r^{2}+\frac{1}{2}r+\frac{1}{16}=\frac{9}{16}$$

Faktoriser r^{2}+\frac{1}{2}r+\frac{1}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(r+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Forenkle.

$$r+\frac{1}{4}=\frac{3}{4} r+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Trekk fra \frac{1}{4} fra begge sider av ligningen.

$$r=\frac{1}{2} r=-1$$