Løs 2r^2+5r+2=0

$$2 r ^ { 2 } + 5 r + 2 = 0$$

Løs for r

$$r=-2$$

$$r=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 2r^{2}+ar+br+2. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=5 ab=2\times 2=4$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er positiv, er a og b positive. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 4.

$$1,4 2,2$$

Beregn summen for hvert par.

$$1+4=5 2+2=4$$

Løsningen er paret som gir Summer 5.

$$a=1 b=4$$

Skriv om 2r^{2}+5r+2 som \left(2r^{2}+r\right)+\left(4r+2\right).

$$\left(2r^{2}+r\right)+\left(4r+2\right)$$

Faktor ut r i den første og 2 i den andre gruppen.

$$r\left(2r+1\right)+2\left(2r+1\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 2r+1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(2r+1\right)\left(r+2\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 2r+1=0 og r+2=0.

$$r=-\frac{1}{2} r=-2$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$2r^{2}+5r+2=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 2 for a, 5 for b og 2 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Kvadrer 5.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Multipliser -4 ganger 2.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-8\times 2}}{2\times 2}$$

Multipliser -8 ganger 2.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-16}}{2\times 2}$$

Legg sammen 25 og -16.

$$r=\frac{-5±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Ta kvadratroten av 9.

$$r=\frac{-5±3}{2\times 2}$$

Multipliser 2 ganger 2.

$$r=\frac{-5±3}{4}$$

Nå kan du løse formelen r=\frac{-5±3}{4} når ± er pluss. Legg sammen -5 og 3.

$$r=-\frac{2}{4}$$

Forkort brøken \frac{-2}{4} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$r=-\frac{1}{2}$$

Nå kan du løse formelen r=\frac{-5±3}{4} når ± er minus. Trekk fra 3 fra -5.

$$r=-\frac{8}{4}$$

Del -8 på 4.

$$r=-2$$

Ligningen er nå løst.

$$r=-\frac{1}{2} r=-2$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$2r^{2}+5r+2=0$$

Trekk fra 2 fra begge sider av ligningen.

$$2r^{2}+5r+2-2=-2$$

Når du trekker fra 2 fra seg selv har du 0 igjen.

$$2r^{2}+5r=-2$$

Del begge sidene på 2.

$$\frac{2r^{2}+5r}{2}=-\frac{2}{2}$$

Hvis du deler på 2, gjør du om gangingen med 2.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r=-\frac{2}{2}$$

Del -2 på 2.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r=-1$$

Del \frac{5}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{5}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{5}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=-1+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{5}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}=-1+\frac{25}{16}$$

Legg sammen -1 og \frac{25}{16}.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}=\frac{9}{16}$$

Faktoriser r^{2}+\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(r+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Forenkle.

$$r+\frac{5}{4}=\frac{3}{4} r+\frac{5}{4}=-\frac{3}{4}$$

Trekk fra \frac{5}{4} fra begge sider av ligningen.

$$r=-\frac{1}{2} r=-2$$