Løs 2k^2+9k=-7

$$2 k ^ { 2 } + 9 k = - 7$$

Løs for k

$$k = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$k=-1$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Legg til 7 på begge sider.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

For å løse ligningen faktoriserer du venstre side ved å gruppere. Først må venstre side omskrives som 2k^{2}+ak+bk+7. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=9 ab=2\times 7=14$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er positiv, er a og b positive. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 14.

$$1,14 2,7$$

Beregn summen for hvert par.

$$1+14=15 2+7=9$$

Løsningen er paret som gir Summer 9.

$$a=2 b=7$$

Skriv om 2k^{2}+9k+7 som \left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right).

$$\left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right)$$

Faktor ut 2k i den første og 7 i den andre gruppen.

$$2k\left(k+1\right)+7\left(k+1\right)$$

Faktorer ut det felles leddet k+1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(k+1\right)\left(2k+7\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse k+1=0 og 2k+7=0.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Legg til 7 på begge sider av ligningen.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=-7-\left(-7\right)$$

Når du trekker fra -7 fra seg selv har du 0 igjen.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=0$$

Trekk fra -7 fra 0.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 2 for a, 9 for b og 7 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Kvadrer 9.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Multipliser -4 ganger 2.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-8\times 7}}{2\times 2}$$

Multipliser -8 ganger 7.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-56}}{2\times 2}$$

Legg sammen 81 og -56.

$$k=\frac{-9±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

Ta kvadratroten av 25.

$$k=\frac{-9±5}{2\times 2}$$

Multipliser 2 ganger 2.

$$k=\frac{-9±5}{4}$$

Nå kan du løse formelen k=\frac{-9±5}{4} når ± er pluss. Legg sammen -9 og 5.

$$k=-\frac{4}{4}$$

Del -4 på 4.

$$k=-1$$

Nå kan du løse formelen k=\frac{-9±5}{4} når ± er minus. Trekk fra 5 fra -9.

$$k=-\frac{14}{4}$$

Forkort brøken \frac{-14}{4} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$k=-\frac{7}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Del begge sidene på 2.

$$\frac{2k^{2}+9k}{2}=-\frac{7}{2}$$

Hvis du deler på 2, gjør du om gangingen med 2.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k=-\frac{7}{2}$$

Divider \frac{9}{2}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få \frac{9}{4}. Legg deretter til kvadratet av \frac{9}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{9}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{81}{16}$$

Legg sammen -\frac{7}{2} og \frac{81}{16} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=\frac{25}{16}$$

Faktoriser k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Forenkle.

$$k+\frac{9}{4}=\frac{5}{4} k+\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}$$

Trekk fra \frac{9}{4} fra begge sider av ligningen.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$