Løs 2-3x-9x^2>0

$$2 - 3 x - 9 x ^ { 2 } > 0$$

Løs for x

$$x\in \left(-\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Multipliserer ulikheten med –1 for å gjøre koeffisienten til den høyeste potensen i 2-3x-9x^{2} positiv. Siden -1 er negativ, endres ulikhetsretningen.

$$-2+3x+9x^{2}<0$$

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$-2+3x+9x^{2}=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 9 med a, 3 med b, og -2 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 9\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{-3±9}{18}$$

Løs ligningen x=\frac{-3±9}{18} når ± er pluss og ± er minus.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{2}{3}$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$9\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)<0$$

For at produktet skal være negativt, x-\frac{1}{3} og x+\frac{2}{3} må være av motsatt tegn. Vurder saken når x-\frac{1}{3} er positiv og x+\frac{2}{3} er negativ.

$$x-\frac{1}{3}>0 x+\frac{2}{3}<0$$

Dette er usant for alle x.

$$x\in \emptyset$$

Vurder saken når x+\frac{2}{3} er positiv og x-\frac{1}{3} er negativ.

$$x+\frac{2}{3}>0 x-\frac{1}{3}<0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x\in \left(-\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right).

$$x\in \left(-\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$x\in \left(-\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)$$