Løs 2z^2+3z+2=0

$$2 { z }^{ 2 } +3z+2=0$$

Løs for z

$$z=\frac{-3+\sqrt{7}i}{4}\approx -0,75+0,661437828i$$

$$z=\frac{-\sqrt{7}i-3}{4}\approx -0,75-0,661437828i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$2z^{2}+3z+2=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 2 for a, 3 for b og 2 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Kvadrer 3.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Multipliser -4 ganger 2.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9-8\times 2}}{2\times 2}$$

Multipliser -8 ganger 2.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9-16}}{2\times 2}$$

Legg sammen 9 og -16.

$$z=\frac{-3±\sqrt{-7}}{2\times 2}$$

Ta kvadratroten av -7.

$$z=\frac{-3±\sqrt{7}i}{2\times 2}$$

Multipliser 2 ganger 2.

$$z=\frac{-3±\sqrt{7}i}{4}$$

Nå kan du løse formelen z=\frac{-3±\sqrt{7}i}{4} når ± er pluss. Legg sammen -3 og i\sqrt{7}.

$$z=\frac{-3+\sqrt{7}i}{4}$$

Nå kan du løse formelen z=\frac{-3±\sqrt{7}i}{4} når ± er minus. Trekk fra i\sqrt{7} fra -3.

$$z=\frac{-\sqrt{7}i-3}{4}$$

Ligningen er nå løst.

$$z=\frac{-3+\sqrt{7}i}{4} z=\frac{-\sqrt{7}i-3}{4}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$2z^{2}+3z+2=0$$

Trekk fra 2 fra begge sider av ligningen.

$$2z^{2}+3z+2-2=-2$$

Når du trekker fra 2 fra seg selv har du 0 igjen.

$$2z^{2}+3z=-2$$

Del begge sidene på 2.

$$\frac{2z^{2}+3z}{2}=-\frac{2}{2}$$

Hvis du deler på 2, gjør du om gangingen med 2.

$$z^{2}+\frac{3}{2}z=-\frac{2}{2}$$

Del -2 på 2.

$$z^{2}+\frac{3}{2}z=-1$$

Del \frac{3}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{3}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{3}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$z^{2}+\frac{3}{2}z+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-1+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{3}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$z^{2}+\frac{3}{2}z+\frac{9}{16}=-1+\frac{9}{16}$$

Legg sammen -1 og \frac{9}{16}.

$$z^{2}+\frac{3}{2}z+\frac{9}{16}=-\frac{7}{16}$$

Faktoriser z^{2}+\frac{3}{2}z+\frac{9}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(z+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{16}}$$

Forenkle.

$$z+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{7}i}{4} z+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{7}i}{4}$$

Trekk fra \frac{3}{4} fra begge sider av ligningen.

$$z=\frac{-3+\sqrt{7}i}{4} z=\frac{-\sqrt{7}i-3}{4}$$