Løs 2x^2-6x-3=0

$$2 { x }^{ 2 } -6x-3=0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{15} + 3}{2} \approx 3,436491673$$

$$x=\frac{3-\sqrt{15}}{2}\approx -0,436491673$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$2x^{2}-6x-3=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 2 for a, -6 for b og -3 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrer -6.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -4 ganger 2.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-8\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -8 ganger -3.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+24}}{2\times 2}$$

Legg sammen 36 og 24.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{60}}{2\times 2}$$

Ta kvadratroten av 60.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{15}}{2\times 2}$$

Det motsatte av -6 er 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{15}}{2\times 2}$$

Multipliser 2 ganger 2.

$$x=\frac{6±2\sqrt{15}}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{6±2\sqrt{15}}{4} når ± er pluss. Legg sammen 6 og 2\sqrt{15}.

$$x=\frac{2\sqrt{15}+6}{4}$$

Del 6+2\sqrt{15} på 4.

$$x=\frac{\sqrt{15}+3}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{6±2\sqrt{15}}{4} når ± er minus. Trekk fra 2\sqrt{15} fra 6.

$$x=\frac{6-2\sqrt{15}}{4}$$

Del 6-2\sqrt{15} på 4.

$$x=\frac{3-\sqrt{15}}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{15}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{15}}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-6x-3=0$$

Legg til 3 på begge sider av ligningen.

$$2x^{2}-6x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Når du trekker fra -3 fra seg selv har du 0 igjen.

$$2x^{2}-6x=-\left(-3\right)$$

Trekk fra -3 fra 0.

$$2x^{2}-6x=3$$

Del begge sidene på 2.

$$\frac{2x^{2}-6x}{2}=\frac{3}{2}$$

Hvis du deler på 2, gjør du om gangingen med 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{2}\right)x=\frac{3}{2}$$

Del -6 på 2.

$$x^{2}-3x=\frac{3}{2}$$

Del -3, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{3}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{3}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{3}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{3}{2}+\frac{9}{4}$$

Legg sammen \frac{3}{2} og \frac{9}{4} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{15}{4}$$

Faktoriser x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{15}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{15}{4}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{15}}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{15}}{2}$$

Legg til \frac{3}{2} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{15}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{15}}{2}$$