Løs 2x^2-5x-18=0

$$2 { x }^{ 2 } -5x-18 = 0$$

Løs for x

$$x=-2$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4,5$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 2x^{2}+ax+bx-18. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-5 ab=2\left(-18\right)=-36$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -36.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Løsningen er paret som gir Summer -5.

$$a=-9 b=4$$

Skriv om 2x^{2}-5x-18 som \left(2x^{2}-9x\right)+\left(4x-18\right).

$$\left(2x^{2}-9x\right)+\left(4x-18\right)$$

Faktor ut x i den første og 2 i den andre gruppen.

$$x\left(2x-9\right)+2\left(2x-9\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 2x-9 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(2x-9\right)\left(x+2\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 2x-9=0 og x+2=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-2$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$2x^{2}-5x-18=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 2 for a, -5 for b og -18 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrer -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -4 ganger 2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -8 ganger -18.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+144}}{2\times 2}$$

Legg sammen 25 og 144.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Ta kvadratroten av 169.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±13}{2\times 2}$$

Det motsatte av -5 er 5.

$$x=\frac{5±13}{2\times 2}$$

Multipliser 2 ganger 2.

$$x=\frac{5±13}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{5±13}{4} når ± er pluss. Legg sammen 5 og 13.

$$x=\frac{18}{4}$$

Forkort brøken \frac{18}{4} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=\frac{9}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{5±13}{4} når ± er minus. Trekk fra 13 fra 5.

$$x=-\frac{8}{4}$$

Del -8 på 4.

$$x=-2$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{9}{2} x=-2$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-5x-18=0$$

Legg til 18 på begge sider av ligningen.

$$2x^{2}-5x-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

Når du trekker fra -18 fra seg selv har du 0 igjen.

$$2x^{2}-5x=-\left(-18\right)$$

Trekk fra -18 fra 0.

$$2x^{2}-5x=18$$

Del begge sidene på 2.

$$\frac{2x^{2}-5x}{2}=\frac{18}{2}$$

Hvis du deler på 2, gjør du om gangingen med 2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{18}{2}$$

Del 18 på 2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=9$$

Del -\frac{5}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{5}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{5}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=9+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{5}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=9+\frac{25}{16}$$

Legg sammen 9 og \frac{25}{16}.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{169}{16}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{13}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{13}{4}$$

Legg til \frac{5}{4} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{9}{2} x=-2$$