Løs 2x^2-5x+17=0

$$2 { x }^{ 2 } -5x+17=0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{111}i}{4}\approx 1,25+2,633913438i$$

$$x=\frac{-\sqrt{111}i+5}{4}\approx 1,25-2,633913438i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$2x^{2}-5x+17=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 2 for a, -5 for b og 17 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\times 17}}{2\times 2}$$

Kvadrer -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\times 17}}{2\times 2}$$

Multipliser -4 ganger 2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\times 17}}{2\times 2}$$

Multipliser -8 ganger 17.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-136}}{2\times 2}$$

Legg sammen 25 og -136.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-111}}{2\times 2}$$

Ta kvadratroten av -111.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{111}i}{2\times 2}$$

Det motsatte av -5 er 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{111}i}{2\times 2}$$

Multipliser 2 ganger 2.

$$x=\frac{5±\sqrt{111}i}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{5±\sqrt{111}i}{4} når ± er pluss. Legg sammen 5 og i\sqrt{111}.

$$x=\frac{5+\sqrt{111}i}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{5±\sqrt{111}i}{4} når ± er minus. Trekk fra i\sqrt{111} fra 5.

$$x=\frac{-\sqrt{111}i+5}{4}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{5+\sqrt{111}i}{4} x=\frac{-\sqrt{111}i+5}{4}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-5x+17=0$$

Trekk fra 17 fra begge sider av ligningen.

$$2x^{2}-5x+17-17=-17$$

Når du trekker fra 17 fra seg selv har du 0 igjen.

$$2x^{2}-5x=-17$$

Del begge sidene på 2.

$$\frac{2x^{2}-5x}{2}=-\frac{17}{2}$$

Hvis du deler på 2, gjør du om gangingen med 2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{17}{2}$$

Del -\frac{5}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{5}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{5}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{17}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{5}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{17}{2}+\frac{25}{16}$$

Legg sammen -\frac{17}{2} og \frac{25}{16} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{111}{16}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{111}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{111}{16}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{111}i}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{111}i}{4}$$

Legg til \frac{5}{4} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{5+\sqrt{111}i}{4} x=\frac{-\sqrt{111}i+5}{4}$$