Løs 2x^2-2x=1

$$2 { x }^{ 2 } -2x=1$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1,366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0,366025404$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$2x^{2}-2x=1$$

Trekk fra 1 fra begge sider av ligningen.

$$2x^{2}-2x-1=1-1$$

Når du trekker fra 1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 2 for a, -2 for b og -1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrer -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -4 ganger 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -8 ganger -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

Legg sammen 4 og 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

Ta kvadratroten av 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Det motsatte av -2 er 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Multipliser 2 ganger 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} når ± er pluss. Legg sammen 2 og 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{4}$$

Del 2+2\sqrt{3} på 4.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} når ± er minus. Trekk fra 2\sqrt{3} fra 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{4}$$

Del 2-2\sqrt{3} på 4.

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-2x=1$$

Del begge sidene på 2.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{1}{2}$$

Hvis du deler på 2, gjør du om gangingen med 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{1}{2}$$

Del -2 på 2.

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

Divider -1, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -\frac{1}{2}. Legg deretter til kvadratet av -\frac{1}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{1}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Legg sammen \frac{1}{2} og \frac{1}{4} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Faktoriser x^{2}-x+\frac{1}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Legg til \frac{1}{2} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$