Løs 2x^2-14x-54=0

$$2 { x }^{ 2 } -14x-54=0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{157} + 7}{2} \approx 9,764982043$$

$$x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}\approx -2,764982043$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$2x^{2}-14x-54=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 2 for a, -14 for b og -54 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 2\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrer -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 2\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -4 ganger 2.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-8\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

Multipliser -8 ganger -54.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+432}}{2\times 2}$$

Legg sammen 196 og 432.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{628}}{2\times 2}$$

Ta kvadratroten av 628.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{157}}{2\times 2}$$

Det motsatte av -14 er 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{157}}{2\times 2}$$

Multipliser 2 ganger 2.

$$x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4} når ± er pluss. Legg sammen 14 og 2\sqrt{157}.

$$x=\frac{2\sqrt{157}+14}{4}$$

Del 14+2\sqrt{157} på 4.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4} når ± er minus. Trekk fra 2\sqrt{157} fra 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{157}}{4}$$

Del 14-2\sqrt{157} på 4.

$$x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-14x-54=0$$

Legg til 54 på begge sider av ligningen.

$$2x^{2}-14x-54-\left(-54\right)=-\left(-54\right)$$

Når du trekker fra -54 fra seg selv har du 0 igjen.

$$2x^{2}-14x=-\left(-54\right)$$

Trekk fra -54 fra 0.

$$2x^{2}-14x=54$$

Del begge sidene på 2.

$$\frac{2x^{2}-14x}{2}=\frac{54}{2}$$

Hvis du deler på 2, gjør du om gangingen med 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{2}\right)x=\frac{54}{2}$$

Del -14 på 2.

$$x^{2}-7x=\frac{54}{2}$$

Del 54 på 2.

$$x^{2}-7x=27$$

Del -7, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{7}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{7}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=27+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{7}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=27+\frac{49}{4}$$

Legg sammen 27 og \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{157}{4}$$

Faktoriser x^{2}-7x+\frac{49}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{157}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{157}{4}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{\sqrt{157}}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{\sqrt{157}}{2}$$

Legg til \frac{7}{2} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$