Løs 2x^2-13x+21=0

$$2 { x }^{ 2 } -13x+21 = 0$$

Løs for x

$$x=3$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen faktoriserer du venstre side ved å gruppere. Først må venstre side omskrives som 2x^{2}+ax+bx+21. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-13 ab=2\times 21=42$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Løsningen er paret som gir Summer -13.

$$a=-7 b=-6$$

Skriv om 2x^{2}-13x+21 som \left(2x^{2}-7x\right)+\left(-6x+21\right).

$$\left(2x^{2}-7x\right)+\left(-6x+21\right)$$

Faktor ut x i den første og -3 i den andre gruppen.

$$x\left(2x-7\right)-3\left(2x-7\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 2x-7 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(2x-7\right)\left(x-3\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 2x-7=0 og x-3=0.

$$x=\frac{7}{2} x=3$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$2x^{2}-13x+21=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 2 for a, -13 for b og 21 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

Kvadrer -13.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

Multipliser -4 ganger 2.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-8\times 21}}{2\times 2}$$

Multipliser -8 ganger 21.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2\times 2}$$

Legg sammen 169 og -168.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2\times 2}$$

Ta kvadratroten av 1.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2\times 2}$$

Det motsatte av -13 er 13.

$$x=\frac{13±1}{2\times 2}$$

Multipliser 2 ganger 2.

$$x=\frac{13±1}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{13±1}{4} når ± er pluss. Legg sammen 13 og 1.

$$x=\frac{14}{4}$$

Forkort brøken \frac{14}{4} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=\frac{7}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{13±1}{4} når ± er minus. Trekk fra 1 fra 13.

$$x=\frac{12}{4}$$

Del 12 på 4.

$$x=3$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{7}{2} x=3$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-13x+21=0$$

Trekk fra 21 fra begge sider av ligningen.

$$2x^{2}-13x+21-21=-21$$

Når du trekker fra 21 fra seg selv har du 0 igjen.

$$2x^{2}-13x=-21$$

Del begge sidene på 2.

$$\frac{2x^{2}-13x}{2}=-\frac{21}{2}$$

Hvis du deler på 2, gjør du om gangingen med 2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{21}{2}$$

Divider -\frac{13}{2}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -\frac{13}{4}. Legg deretter til kvadratet av -\frac{13}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=-\frac{21}{2}+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{13}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=-\frac{21}{2}+\frac{169}{16}$$

Legg sammen -\frac{21}{2} og \frac{169}{16} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{1}{16}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{1}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{1}{4}$$

Legg til \frac{13}{4} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{7}{2} x=3$$